Question

Provar que f(x)= 4√x - x para x ∈ [0,1] possui inversa. Calcule $f^{-1} (x)$ e esboce o gráfico.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução não é das mais fáceis.

i) Pede-se para demonstrar que a função f(x) = 4√(x) - x, para x ∈ [0; 1], ou seja, para "x" no intervalo fechado: 0 ≤ x ≤ 1, vai ter uma inversa.
Antes veja que ela terá inversa, pois, nesse intervalo, a função é bijetora, ou seja, o seu contradomínio é igual ao conjunto-imagem. Veja isso no gráfico a seguir:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=graphic+f(x)+%3D+4%E2%88%9A(x)+-+x,+0%3C%3Dx%3C%3D1

Pelo gráfico acima você está vendo que cada ponto do domínio [0; 1] tem apenas uma imagem e que essa imagem é exatamente igual ao contradomínio. Por isso a função, nesse intervalo, é bijetora.

ii) Agora vamos encontrar a função inversa da função dada, que é esta:

f(x) = 4√(x) - x ------ agora siga os seguintes passos:

ii.1) Troque f(x) por "y", ficando assim:

y = 4√(x) - x

ii.2) Agora troque "y" por "x" e "x" por "y", ficando assim:

x = 4√(y) - y

ii.3) Finalmente, agora vamos isolar "y". E quando tivermos feito isso, então a função encontrada já será a inversa, ou seja já será f⁻¹(x).

iii) Então vamos passar "-y" para o 1º membro, ficando:

x + y = 4√(y) ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando assim:

(x+y)² = [4√(y)]² ---- desenvolvendo, teremos:
x² + 2xy + y² = 16y ---- vamos passar "16y" para o 1º membro:
x² + 2xy + y² - 16y = 0 ---- como queremos isolar "y", então vamos fazer com que a expressão dada seja uma função do 2º grau em "y". Assim, teremos:

y² + 2xy - 16y + x² = 0 ---- em "2xy-16y" vamos colocar "y" em evidência, com o que ficaremos assim:

y² + (2x-16)y + x² = 0 ---- agora vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta:

y = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Veja que os coeficientes da função que encontramos [y² + (2x-16)y + x² = 0] tem os seguintes coeficientes: a = 1--- (é o coeficiente de y²); b = (2x-16)-- (é o coeficiente de y); e c = x² -- (é o coeficiente do termo independente).
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

y = [-(2x-16) ± √(2x-16)² - 4*1*x²)]/2*1
y = [-2x+16 ± √(4x²-64x+256 - 4x²)]/2 --- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, teremos:

y = [16-2x ± √(256-64x)]/2 --- no radicando, vamos colocar 64 em evidência, ficando assim:

y = [16-2x ± √(64*(4-x)]/2 --- note que 64 = 8². Assim, ficaremos:
y = [16-2x ± √(8²*(4-x)]/2 --- como o "8" está ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz quadrada, ficando:

y = [16-2x ± 8√(4-x)]/2 --- simplificando-se numerador e denominador por "2", iremos ficar apenas com:

y = 8 - x ± 4√(4-x) ---- finalmente, trocando "y" pelo símbolo internacional de inversa, teremos:

f⁻¹(x) = 8 - x ± √(4-x) <--- Esta é a inversa e também apenas no intervalo de x ∈ [0; 1], ou seja, no intervalo fechado de 0 ≤ x ≤ 1.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.