Question

Provar que a diferença de dois cubos de inteiros consecutivos não é divisível por 2

Answer 1

∀a, a∈Z

2 ∦ a³ - (a+1)³ 

Provarei por induçao 

1°) Para a=0 
2 ∦ 0³ - (0+1)³ ⇔ 2 ∦ 0 - 1 ⇔ 2 ∦ -1 ou seja, verdade

2°)Para a=k, k ∈ Z, k≥0
2 ∦ k³ - (k+1)³ (hípotese de induçao)
2 ∦ k³ - (k³ + 3k² + 3k + 1)
2 ∦ -3k² - 3k - 1 

Para a=k+1
2 ∦ (k+1)³ - (k+2)³ 
2 ∦ k³ + 3k² + 3k + 1 - (k³ + 6k² + 12k + 8)
2∦ - 3k² - 9k - 7 ⇔ 2∦ (-3k² - 3k - 1) - 6k -6 ⇔ 2∦ -3k² - 3k - 1 e -6k - 6

ou seja, é verdadeiro pra qualquer k∈Z, k≥0