Question

Provar que 9n − 1 ´e sempre um multiplo de 8 para todo n ≥ 1.

Answer 1

Pode-se provar esta afirmação por indução. Supondo que essa relação é válida para $n$, existe um $k$ inteiro para o qual $9^n-1=8k$. Para $n+1$ temos que:

$9^{n+1}-1=9\cdot9^n-1$

$9^{n+1}-1=(8+1)\cdot9^n-1$

$9^{n+1}-1=8\cdot9^n+9^n-1$

Sendo $9^n-1=8k$:

$9^{n+1}-1=8\cdot9^n+8k$

$9^{n+1}-1=8\cdot(9^n+k)$

Provando assim que $9^n-1$ é múltiplo de 8 implica que $9^{n+1}-1$ também o é. Como a relação é válida para $n=1$ pois $9^1-1=8$ é múltiplo de 8, ela é válida para todo $n\geq 1$.