Provar que √2 é um número irracional.
Soluções para a tarefa
Demonstração:
Suponha por absurdo que √2 seja um número racional
Então existem a, b primos entre si tais que
a/b=√2
Elevando a igualdade ao quadrado temos:
(a/b)² = √2²
a²/b²=2
a²=2b² →a^2 é par →a é par daí a=2k com k ∈ Z. (1)
2b²=a²
2b²=(2k)²
2b²=4k²
b²=4k²/2
b²=2k² →b^2 é par →b é par(2)
de (1) a é par
de (2) b é par
isso é um absurdo pois a e b são primos entre sí.
∴ √2 é um número irracional c.q.d
A demonstração desse teorema consiste em utilizar a contrapositiva para chegar a um absurdo e assim admitir que o enunciado original é verdadeiro.
vejamos a demonstração:
Suponha que √2 seja um número racional e que existam p e q coprimos.
Então p/q=√2 elevando ao quadrado
p²/q²=2
p²=2q²
p² é par -----> p é par. ( I )
logo p=2m com m ∈ Z
2q²=p²
2q²=(2m)²
2q²=4m²
q²=4m²/2
q²=2m²
q² é par -----> q é par ( II)
por (I) p é par
por ( II ) q é par
isso é um absurdo pois p e q coprimos. q.e.d