Provar( demonstrar) que a raiz cubica de 2 é irracional.
Soluções para a tarefa
A raiz de qualquer número inteiro, se não exata, se torna então irracional.
Ex :
∛8 = 2 , pois 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8
ou decompondo ...
8/2
4/2
2/2
1
8 = 2³
∛8 = ∛2³ = 2
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De cara percebemos que 2 é primo ! então é impossível que possua uma raiz exata .
decompondo ..
2/2
1
2 = 2¹
∛2¹ como o 1 é diferente do 3 não podemos cancelar ...
por isso é irracional . ok
Demonstração passo-a-passo:
Suponha, por absurdo, que ³√2 é racional. Segue que, ³√2 = p/q, com p, q ∈ ℤ. Logo, ³√2 = p/q ⇒ 2 = p³/q³ ⇒ p³ = 2q³ (1).
Agora, suponha que p e q não possuem fatores em comum. Se possuírem, seja mdc (p,q) = k, com k ∈ ℤ. Logo, pode-se reescrever p/k = a e q/k = b. Se p e q possuírem mais de um fator em comum, é só simplificar a equação, da mesma forma que simplificamos p e q.
Logo, de (1), segue que p³ é par, ou seja, podemos escrever p = 2k, com k ∈ ℤ⁺. Substituindo em (1), temos que:
p³ = 2q³
⇒ (2k)³ = 2q³
⇒ 8k³ = 3q³
⇒ 8/3 × k³ = q³
⇒ 2 × 4/3 × k³ = q³ (2).
De (2), segue que q³ é par, contradição, pois supomos que p e q não possuíam fator em comum. Logo, o absurdo está em afirmar que ³√2 é racional. Portanto, ³√2 é irracional ☐