Question

Provar como chegar na formula do Baricentro:

Answer 1

Mediana é o segmento que une um vértice de um triangulo ao ponto médio do lado oposto. Assim, se os vértices forem os pontos A, B e C, e os pontos médios dos lados opostos forem os pontos Ma, Mb e MC, as medianas serão os segmento ma, mb e mc, que se interceptam no ponto G, baricentro do triângulo. (Veja na figura em anexo).
Propriedade: 
As três medianas de um triângulo se interceptam em um mesmo ponto G, que divide cada mediana em duas partes, tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.
Prova:
Devemos provar que:
A interseção de AMa com BMb e com CMc = G e que:
BG = 2.GMb
CG = 2.GMc
AG = 2.GMa

Seja X o ponto de interseção de BMb com CMc.
Consideremos o segmento McMb que é paralelo ao lado BC e mede a metade de BC, pois Mc e Mb são os pontos médios dos lados AB e AC [1].
Assim, temos os triângulos McXMb e CXB, que são semelhantes, pois possuem os seus ângulos correspondentes iguais (2 alternos internos e 1 oposto pelo vértice). Então, os lados correspondentes são proporcionais e, pelo que consta em [1], :
MbX/XB = McX/CX = McMb/BC = 1/2, ou seja,
BX = 2.XMb e CX = 2.XMc [2]

Seja Y o ponto de interseção de AMa com CMc.
Consideremos, agora, o segmento McMa, que é paralelo a AC e mede a metade de AC [3].
Assim, os triângulos McYMa e CYA são semelhantes, pelo mesmo motivo exposto anteriormente para o ponto X. Então de acordo com [3], temos:
MaY/YA = McY/YC = McMA/AC = 1/2, ou seja:
AY = 2.YMa e CY = 2.YMc, ou
CX/McX = 1/2 e CY/McY = 1/2, logo, X≡Y.

Assim, chamando este ponto X ≡ Y de G, temos que
a interseção de AMa com BMb com CMc = G e
BG = 2.GMb
CG = 2.GMc 
AG = 2.GMa

Conforme Queríamos Demonstrar (CQD)