Question

Prova, recorrendo ao produto escalar que um ângulo inscrito numa semi-circunferencia é um angulo reto

Answer 1

Resposta:

Abaixo a demonstração!

Explicação passo-a-passo:

Boa tarde!

Suponha os três pontos da circunferência serem:

• A(R,0)
• B(-R,0)
• C(x,y)

Visivelmente percebemos que A e B formam uma corda que passa pelo centro da circunferência, ou seja, um diâmetro.

Sendo esta circunferência de centro O(0,0) e raio R, a equação de um ponto genérico qualquer da mesma é dada por:

$x^2+y^2=R^2$, certo?

Bom, para demonstrar que este triângulo tem ângulo reto (ou melhor, que o ângulo inscrito ACB é reto), podemos usar o produto interno (escalar).

$\vec{AC}\cdot\vec{BC}=(C-A)\cdot(C-B)\\\\=(x-R,y)\cdot(x+R,y)=(x-R)(x+R)+y^2\\\\=x^2-R^2+y^2=\overbrace{x^2+y^2}^{R^2}-R^2=0$

Portanto, como o produto interno é nulo os vetores $\vec{AC}$ e $\vec{BC}$ são ortogonais entre si, demonstrando que o ângulo inscrito ACB é reto.

c.q.d.

Espero ter ajudado!