Question

(Prova de Teoremas) Prove que se a<b então a é menor que a média aritmética entre a e b.

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Answer 1

Sabemos que a < b (tese).

Queremos provar que "a" é menor que sua média com "b" (hipótese).

média = (a+b)/2

a < (a+b)/2

Ao multiplicarmos ambos os lados por 2, não alteraremos a desigualdade. Dessa forma, temos:

2a < a + b

Diminuindo ambos os lados por "a", também não alteraremos a desigualdade. Assim, ficaremos com:

2a - a < a + b - a

a < b

Como podemos perceber, voltamos à tese original, o que significa que igualamos a hipótese ("a" menor que sua média com "b") com a tese (a < b) e, então, provamos a veracidade desse teorema.

Answer 2

Olá!

Devemos provar que se a < b, então $a < \frac{a+b}{2},$ ou seja que a é menor do que a média aritmética entre a e b.

Se a < b, então podemos somar "a" aos dois lados da desigualdade. Segue que:

$a < b \implies \: a + a < b + a \implies \\ \implies \: 2a < a + b \: \implies \: a < \frac{a + b}{2} \: \blacksquare$