Question

Proposto por Euler) Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram pagos
31 escudos por cavalo e 20 escudos por boi e sabe-se que todos os cavalos custaram 7
escudos a menos do que todos os bois. Quantos cavalos e quantos bois foram
comprados?

Answer 1

Vou chamar  u o número de bois e v o número de cavalos, logo:

                             $20u = 31v+7$

Logo a equação diofantina é:

$20u-31v=7$

d = mdc(20,31)= 1

logo existe solução.

as soluções iniciais são:

$u_0 =5\\\\v_0=3$

Vamos usar a seguinte formula para encontrar todas as soluções:

$x= x_0+\frac{b}{d} .t\\\\y=y_0-\frac{a}{d}.t$

com esta formula vamos descobrir a solução geral.

$x= 5+\frac{31}{1} .t= 5+31t\\\\y= 3+\frac{20}{1} t = 3+20t$   t ∈ $Z$

Essa é a solução geral da equação.

Como 40< u <100, segue-se que 40<5 +t31<95, ou seja,t= 2.  Portanto, foram comprados 67 bois e 43 cavalos

Resposta:  67 bois e  43 cavalos