Question

Progressões aritméticas help

Answer 1

Resposta:

a) PA =(2, 4, 6, ..., n)

A seguir usa-se a formula para obter um termo qualquer em uma posição na PA. Pega-se o primeiro termo e aplica na formula, resultando na quantidade de maquinas manutenidas na sequencia apresentada na questão (no primeiro dia, deixou duas máquinas...).

an = a1 + (n – 1)r

a10 = 2 + (10 – 1)•2

a10 = 2 + (9)•2

a10 = 2 + 18

a10 = 20

R = 20 é a quantidade de maquinas no décimo dia

                        PA = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) Qtd maq. arrumadas

                                             Dias    1   2   3   4   5   6   7    8    9   10  

Explicação passo a passo:

A ordem dos dias em que Nonato trabalhou forma uma PA = (a1, a2, a3, ...,  an)(1ºdia, 2ºdia, 3ºdia, ..., ndias), usando a expressão para calcular os termos se uma PA. Para uma PA qualquer, somaremos os n primeiros termos dela. A PA será composta dos dias de trabalho e representada assim:

PA=(1, 2, 3, 4, ...,n) => PA=(  a1, a2, a3, a4, …an)

Matematicamente esse é o desenvolvimento da expressão:

a1 = 1

a2 = a1 + r

a3 = a1 + 2r

a4 = a1 + 3r

PA =(2, 4, 6, ..., n)

A seguir usa-se a formula para obter um termo qualquer em uma posição na PA. Pega-se o primeiro termo e aplica na formula, resultando na quantidade de maquinas manutenidas na sequencia apresentada na questão (no primeiro dia, deixou duas máquinas...).

an = a1 + (n – 1)r

a10 = 2 + (10 – 1)•2

a10 = 2 + (9)•2

a10 = 2 + 18

a10 = 20

R = 20 é a quantidade de maquinas no décimo dia

                        PA = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) Qtd maq. arrumadas

                                             Dias    1   2   3   4   5   6   7    8    9   10  

b) Nonato precisou de quantos dias para completar sua tarefa? Apresente um desenvolvimento para justificar sua resposta.

PA = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., n);

Segundo a formula do termo geral:  an = a1 + (n – 1)r, onde nesse exemplo de problema an = 2070 que é o total de maquinas a serem arrumadas. a1 = 2 que foi o numero de maquinas que arrumou no primeiro dia. r = 2, pois ele fez duas a mais que o dia anterior. E n será a quantidade de dias que levou para completar a tarefa.

Então fica assim:

an = a1 + (n – 1)r

2070 = 2 + (n – 1)•2

2070 - 2 = (n – 1)•2

2068 = (n – 1)•2

2068 = (n – 1)•2

2068/2 = n – 1

1034+1=n  

n = 1035

R= Nonato concluiu a tarefa em 1035 dias.

Answer 2

(a) O termo geral da progressão aritmética é dado por $a_n = 2*n$

(b) Nonato completará sua tarefa em 45 dias.

Termo geral

Temos que Nonato arruma 2 máquinas no primeiro dia, no segundo ele arruma 2 + 2 = 2*2 máquinas, no terceiro dia ele arruma 2 + 2 + 2 = 2*3 máquinas e assim sucessivamente. Observe que, quando somamos 2 unidades a um número na forma 2*k obtemos 2*(k + 1), logo, podemos escrever que Nonato arrumará 2*n máquinas no n-ésimo dia. Dessa forma, temos que, o termo geral pode ser descrito por:

$a_n = 2*n$

Em quantos dias ele terminará a tarefa?

Para que Nonato termine a tarefa é necessário que ele arrume as 2070 máquinas, ou seja, que a soma das máquinas arrumadas em cada dia seja igual a 2070. Temos que:

$2 + 2*2 + 2*3 + 2*4 + ... + 2*n = 2070$

$2*(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) = 2070$

$1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 1035$

Observe que 1 + n = 2 + (n - 1) = 3 + (n -2), logo, podemos escrever a igualdade na forma:

$(1 + n)*n/2 = 1035$

$(1 + n)*n = 2070$

$n^2 + n - 2070 = 0$

$\Delta = 1^2 - 4*1*(-2070) = 8281$

$n = \dfrac{-1 \pm \sqrt{8281}}{2*1} = \dfrac{-1 \pm 91}{2}$

$n = 45 \; ou \; n = -46$

Como a quantidade de dias não pode ser negativa, temos que n = 45.

Para mais informações sobre progressão aritmética, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/47667431

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