[PROGRESSÃO GEOMÉTRICA] - Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 na segunda hora, 64 na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em horas) necessário para completar um percurso de:
a) 480m
b) 600m
Soluções para a tarefa
Resposta:
A) 4h
B) Não existe
Explicação passo-a-passo:
Razão (q) :
q = 128 / 256 = .
Fórmula:
QUESTÃO A
480 = 256 * [(1/2)^n - 1] / [(1/2) -1]
480 / 256 = [(1/2)^n - 1] / -(1/2) ← lanço o 256 para o outro membro.
15/8 = [(1/2)^n - 1] / -(1/2) ← simplifico a fração 480/256 por 15/8.
-15/16 = (1/2)^n - 1 ← lanço a fração -(1/2) para o outro membro e faço o cálculo.
1/16 = (1/2)^n ← lanço o -1 para o outro membro e resolvo o cálculo.
1/(2^4) = (1/2)^n ← tiro o MMC de 16, resultado em 2^4:
(1/2)^4 = (1/2)^n ← pela regra da potência em uma fração, torno o expoente da base 2 como o expoente da fração inteira. Como igualei as bases, agora igualo os expoentes:
n = 4
Para trilhar 480m total, será necessário 4h
QUESTÃO B
600 = 256 * [(1/2)^n - 1] / [(1/2) -1]
600/256 = [(1/2)^n - 1] / -(1/2)
75/32 = [(1/2)^n - 1] / -(1/2)
-(75/64) = [(1/2)^n - 1]
-(11/64) = (1/2)^n ← Não existe existe valor de "n" para que o resultado dê valor negativo como -(11/64).
Não importa se o "n" é um número negativo ou fracionário, nunca chegaremos a um valor menor que zero. Desta forma, não existe um intervalo de horas que satisfaça a equação.
Se parar para pensar, a medida que aumentamos "n", o valor fracionário ficará menor e próximo de zero. Observe:
(1/2)¹ = 1/2 = 0,5
(1/2)² = 1/4 = 0,25
(1/2)³ = 1/8 = 0,125
(1/2)¹¹ = 1/2048 = 0,000488
(1/2)²¹ = 1/2097152 = 0,000000476
Se tendêssemos (1/2)^n para o 0, pois conforme aumentamos a quantidade de horas a sua distância diminui e fica próximo do zero, teremos um limite permitido da soma total da distância.
St = 256 * [(1/2)^n - 1] / [(1/2) -1] ← (1/2)^n tende a 0.
St = 256 * [0 - 1] / -(1/2)
St = 256 * (- 1) / -(1/2)
St = 256 * 1/ (1/2)
St = 256 * 2
St = 512m
Espero que você entenda!