Question

progressão aritmética.
$\textrm{com }\mathrm{a_n=2^n+n}\textrm{ , calcule }\displaystyle{\mathrm{\sum\,_1^3(a_n)\,\cdot}}$​

Answer 1

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que o valor da soma dos 3 primeiros termos desta sequência é igual a 20.

• Vamos entender ou por quê?

O problema nos pede para calcular esta expressão: $\displaystyle \sf \sum^{3} _{n=1} a _ n$

Onde a letra grega "Σ" (sigma) é uma notação que é usada em matemática para se referir a somas bastante grandes sem a necessidade de escrever mais de uma operação e se chama somatório, para calcular o valor de uma somatório devemos encontrar o valor dos índices abaixo e acima.

Podemos ver que no índice abaixo está a expressão “n = 1”, esta expressão significa os valores que a variável “n” irá assumir e o índice acima descreve até qual valor a variável “n” deve parar. Em nosso somatório a variável "n" deve parar no número 3 e iniciar no número 1 conforme o índice abaixo, então desenvolvido obtemos:

$\displaystyle \sf \sum^{3} _{n=1} a _ n= a _1 + a _2 + a _3$

Agora sabemos que o valor de um sub n é dado pela seguinte sequência de formação: $\sf a _ n= 2^ n + n$

Para encontrar o valor de um sub 1,2 e 3 basta substituir o valor de n pelo número encontrado abaixo, ou seja, se temos sub 1 devemos substituir 1 na expressão que descreve sub n, então encontrando o valor de um sub 1, 2 e 3 temos:

$\begin{cases}\sf a _1 = 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3~(i)\\\\ \sf a _ 2 = 2^2 + 2 = 4 + 2= 6~ (ii)\\\\ \sf a _3= 2^3 +3 = 8 + 3 = 11~(iii)\end{cases}$

Substituindo nossos valores em nossa expressão obtemos:

$\sf\displaystyle \sf \sum^{3} _{n=1} a _ n = 3 + 6 + 11 \\\\ \\\\\displaystyle \sf \sum^{3} _{n=1} a _ n= 9 +11\\ \\\\\\\boxed{\sf \displaystyle \sf \sum^{3} _{n=1} a _ n= 20}\quad\longleftarrow\quad\mathsf {Resposta }$

Conclusão: Feitos os cálculos, concluímos que o valor da soma de um sub 1, um sub 2 e um sub 3 é igual a 20.

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a soma dos três primeiros termos da referida progressão aritmética é:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \sum\limits_{n = 1}^{3}\,(a_{n}) = 20\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                 $\Large\begin{cases} a_{n} = 2^{n} + n\\\sum_{1}^{3}(a_{n}) = \:?\end{cases}$

Observe que a referida questão está nos solicitando a soma dos "an" temos, começando pelo termo de índice  "1" e indo até o termo de índice "3".

Então temos:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^{3}\,(a_{n}) = a_{1} + a_{2} + a_{3}\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2^{1} + 1) + (2^{2} + 2) + (2^{3} + 3)\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2 + 1) + (4 + 2) + (8 + 3)\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3 + 6 + 11\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 20\end{gathered}$

✅ Portanto, a soma dos três primeiros termos da P.A. é:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^{3}\,(a_{n}) = 20\end{gathered}$

   

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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