Question

PROGRESSÃO ARITMÉTICA
1 - Um triângulo retângulo tem seus lados c, b e a em uma progressão aritmética crescente, então podemos dizer que sua razão r é igual a: de onde saiu o 2 ?

Answer 1

Resposta:

r=b-c=a-b

(b-c)²=(a-b)²

b²+c²-2bc=a²+b²-2ac

Sabemos que a²=b²+c²

a²-2bc=a²+b²-2ac

-2bc=b²-2ac

b²=2c*(a-b)

b²=2c*r

r=b²/2c

Answer 2

Resposta:

A razão corresponde a 1/3 do cateto menor

Explicação passo-a-passo:

Num triângulo retângulo, o lado maior é a hipotenusa (a); os outros são os catetos (b e c)

Pitágoras:

a² = b² + c²

Se os lados estão em progressão aritmética de razão "r", podemos extrair algumas informações dessa afirmativa:

c = cateto menor

b = cateto maior = c + r

a = hipotenusa = c + r + r = c + 2r

(c + 2r)² = (c + r)² + c²

c² + 4cr + 4r² = c² + 2cr + r² + c²

c² + 4cr + 4r² = 2c² + 2cr + r²

2c² + 2cr + r² - c² - 4cr - 4r² = 0

c² - 2cr - 3r² = 0

Δ = (-2r)² - 4 * 1 * (-3r²)

Δ = 4r² + 12r²

Δ = 16r²

√Δ = ± 4r

c' = 3r      -------    c" = -r

Trabalharemos com a raiz positiva = 3r

Resumo da ópera: o cateto c (o menor) é o triplo da razão

Se a razão for 1, teremos: c = 3, b = 4 e a = 5

NOTA! Se você aplicar o Teorema de Pitágoras nesse resultado, verá que se trata mesmo de um triângulo retângulo:

5² = 25   ----> 4² = 16  -----> 3² = 9   ----> 16 + 9 = 25

Se a razão for 2, os lados ficariam assim:

c = 6   ------> b = 8 ------->   a = 10

10² = 100 ------> 6² = 36   -----> 8² = 64 -------> 64 + 36 = 100