Question

Produção de pneus de carros de luxo
Uma empresa de pneus de carros de luxo com o objetivo de analisar seu processo de produção contratou uma consultoria para auxiliá-los. A empresa fez algumas estimativas em relação ao custo total da produção de um tipo específico de pneu e em relação a sua demanda. Considerando x como a quantidade de unidade vendida, a empresa estimou que a função Custo Total é C(x) = 1000 + 4x² . Sabe-se que o preço de venda de cada unidade está relacionado com a quantidade vendida pela função demanda p = 700 — x².
Com base nessa informação você deverá realizar uma análise da situação se atentando a alguns aspectos:
-O lucro é crescente para quais quantidades de unidades vendidas?
-O lucro é decrescente para quais quantidades de unidades vendidas?
-Qual o maior lucro obtido? Para qual quantidade vendida?
-A partir de qual quantidade vendida há prejuízo?
Além desses pontos você pode realizar uma análise de outros aspectos da situação que você achar relevante.

Answer 1

Olá!

Temos que a função Lucro é dada pela subtração da função custo da função receita:

L(x) = R(x) - C(x)

Por sua vez, a função receita pode ser calculada por:

R(x) = p.x

Logo, teremos:

L(x) = p.x - C(x)

L(x) = (700 - x²).x - 1000 - 4x²

L(x) = -x³ - 4x² + 700x - 1000

Temos que a função lucro apresenta em x > 0 um ponto máximo, que pode ser calculado, derivando-se L(x) e igualando a zero:

L'(x) = -3x² - 8x + 700

A função L'(x) será igual a zero quando x = 14. Logo, temos que a função Lucro terá o valor máximo quando x = 14, sendo portanto:

L(14) = -14³ - 4(14)² + 700.(14) - 1000 = R$ 5.272,00

Sendo assim, o lucro será crescente quando 1 ≤ x ≤ 14 e decrescente quando 15 ≤ x < ∞.

Espero ter ajudado!