Produção de pneus de carros de luxo Uma empresa de pneus de carros de luxo com o objetivo de analisar seu processo de produção contratou uma consultoria para auxiliá-los. A empresa fez algumas estimativas em relação ao custo total da produção de um tipo específico de pneu e em relação a sua demanda. Considerando x como a quantidade de unidade vendida, a empresa estimou que a função Custo Total é C(x) = 1000 + 4x² . Sabe-se que o preço de venda de cada unidade está relacionado com a quantidade vendida pela função demanda p = 700 — x². Com base nessa informação você deverá realizar uma análise da situação se atentando a alguns aspectos: -O lucro é crescente para quais quantidades de unidades vendidas? -O lucro é decrescente para quais quantidades de unidades vendidas? -Qual o maior lucro obtido? Para qual quantidade vendida? -A partir de qual quantidade vendida há prejuízo? Além desses pontos você pode realizar uma análise de outros aspectos da situação que você achar relevante.
Soluções para a tarefa
Olá!
Temos que a função Lucro (x) é dada pela função Receita (x) menos a função Custo (x). A função Receita é dada por:
R(x) = p.x = (700 - x²) . x = 700x - x³
onde p é o preço do produto e x é a quantidade.
Logo:
L(x) = 700x - x³ - 1000 - 4x²
Ao plotarmos a função Lucro obtida, vemos que ela possui um máximo, portanto, há uma quantidade de produtos que fazem o lucro crescer e há uma quantidade de produtos que fazem o lucro cair.
Ao derivarmos a função Lucro, obtemos L'(x) = -3x² - 8x + 700. Ao igualarmos a zero, encontramos uma raiz positiva, x = 14. Portanto, a quantidade máxima de produtos vendidos que geram lucro é x = 14, com L(x) = R$ 5.272,00.
Sendo que a região que o lucro é crescente é de 2 < x < 14, e a região que o lucro está decrescente é 15 < x < ∞.
Espero ter ajudado!