Matemática, perguntado por Narrount, 1 ano atrás

Procurar o fator integrante e resolver a equação:
(y/x)dx + (y³ - Lg x)dy = 0

Soluções para a tarefa

Respondido por andresccp
2
Mdx + Ndy = 0

temos
\boxed{\boxed{\left( \frac{y}{x}\right)dx + (y^3-ln(x))dy=0 }}

.
\boxed{\boxed{ \frac{\partial M}{\partial x} = \frac{y}{x^2} \;\;\;\ \left|  \;\; \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} }}\\\\\\ \boxed{\boxed{ \frac{\partial N}{\partial x} = 0- \frac{1}{x}  \;\;\;\ \left|  \;\; \frac{\partial N}{\partial y} = 3y^2-0 }}\\\\.


podemos o escrever em função de y
g(y)= \frac{1}{M} \left( \frac{\partial M}{\partial y} -\frac{\partial N}{\partial x} \right)\\\\g(y)= \frac{x}{y} *( \frac{1}{x} + \frac{1}{x}  )\\\\\boxed{\boxed{g(y)= \frac{2}{y} }}

o fator integrante será
I=e^{-\int g(y)dy}\\\\ I=e^{-\int  \left ( \frac{2}{y} \right)dy }\\\\I=e^{-2ln(y)}\\\\ I=e^{ln(y^{-2})}\\\\\boxed{\boxed{I= \frac{1}{y^2} }}

multiplicando a equação inicial pelo fator integrante

 \frac{1}{y^2}*( \frac{y}{x} )  dx +  \frac{1}{y^2}*(y^3-ln(x))dy = 0 \\\\ \boxed{\boxed{ \left(\frac{1}{xy}\right)dx +  \left( y- \frac{ln(x)}{y^2} \right)dy =0}}

resolvendo
F(x,y)=\int  \frac{1}{xy}  dx =   \frac{ln(x)}{y}+ h(y)

então
 \frac{\partial F}{\partial y}=   N\\\\ - \frac{ln(x)}{y^2}+h'(y) = y- \frac{ln(x)}{y^2} \\\\\boxed{\boxed{h'(y)=y}}

integrando o h'(y)
h(x)=\int y\; dy =  \frac{y^2}{2}+C

logo:

F(x,y)= \frac{ln(x)}{y}+ h(y)\\\\\boxed{\boxed{F(x,y)= \frac{ln(x)}{y}+ \frac{y^2}{2}+C_1}}

F(x,y) é uma constante então

C_2 = F(x,y)\\\\C_2= \frac{ln(x)}{y}+ \frac{y^2}{2}+C_1}}\\\\C_2-C_1 =  \frac{ln(x)}{y}+ \frac{y^2}{2}\\\\K =  \frac{ln(x)}{y}+ \frac{y^2}{2}\\\\K= \frac{2ln(x)+y^3}{2y} \\\\   2yK - y^3 =2ln(x) \\\\ yK - \frac{y^3}{2}= ln(x) \\\\\boxed{\boxed{f(y)= e^{\frac{2yK-y^3}{2} }}}

Narrount: Obrigado. Há uma questão aqui no Brainly semelhante a esta que ninguém resolveu. Será se poderia resolver? (1 + y²)dx = (x + x²)dy
Narrount: A questão pede para procurar o fator integrante e resolver a equação (1 + y²)dx = (x + x²)dy 
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