Question

Procurar o fator integrante e resolver a equação:
(1 + y²)dx = (x + x²)dy

Answer 1

Esta é uma equação separável:

$\dfrac{dy}{1+y^{2}}=\dfrac{dx}{x+x^{2}}\\ \\ \\ \displaystyle\int{\dfrac{dy}{1+y^{2}}}=\displaystyle\int{\dfrac{dx}{x+x^{2}}}\\ \\ \\ \mathrm{arctg\,}(y)=\displaystyle\int{\dfrac{dx}{x\,(1+x)}}$


Encontrando a primitiva do lado direito, decompondo o integrando em frações parciais:

$\dfrac{1}{x\,(1+x)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{1+x}\\ \\ \\ \dfrac{1}{x\,(1+x)}=\dfrac{A\,(1+x)+Bx}{x\,(1+x)}\\ \\ \\ \dfrac{1}{x\,(1+x)}=\dfrac{(A+B)x+A}{x\,(1+x)}$


Igualando os coeficientes do polinômio no numerador, devemos ter

$A=1,\;B=-1$


E o integrando fica:

$\dfrac{1}{x\,(1+x)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{1+x}\\ \\ \\ \displaystyle\int{\dfrac{1}{x\,(1+x)}\,dx}=\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}\,dx}-\displaystyle\int{\dfrac{1}{1+x}\,dx}\\ \\ \\ \displaystyle\int{\dfrac{1}{x\,(1+x)}\,dx}=\mathrm{\ell n\,}|x|-\mathrm{\ell n\,}|1+x|+\mathbb{C}$


Voltando à equação diferencial, chegamos a

$\mathrm{arctg\,}(y)=\mathrm{\ell n\,}|x|-\mathrm{\ell n\,}|1+x|+\mathbb{C}\\ \\ y=\mathrm{tg\,}(\mathrm{\ell n\,}|x|-\mathrm{\ell n\,}|1+x|+\mathbb{C}),\;\;\;\mathbb{C}\in\mathbb{R}$