Question

Procurar a frase "O máximo divisor comum entre dois números naturais é 25 e o mínimo múltiplo comum desses mesmos números é 1125. É sempre correto afirmar que" nos resultados? alguém sabe? por favor ;)

Answer 1

Sejam $x$ e $y$ os números procurados, com $x>y$.

Como $\texttt{mdc}(x,y)=25$ podemos escrever $x=25a$ e $y=25b$, com $\texttt{mdc}(a,b)=1$, $a, b\in\mathbb{N}$ e $a>b$.

Temos que $\texttt{mdc}(x,y)\times\texttt{mmc}(x,y)=x\cdot y$

Pelo enunciado $\texttt{mdc}(x, y)=25$ e $\texttt{mmc}(x, y)=1125$, logo

$12\times1125=x\cdot y$, mas $x=25a$ e $y=25b$, então:
$25\times1125=25a\cdot25b$
$625ab=28125$
$ab=45$

Como $\texttt{mdc}(a,b)=1$, $a, b\in\mathbb{N}$ e $a>b$, as únicas possibilidades são $(a, b)=(9, 5)$ e $(a, b)=(45,1)$.

Assim, há duas soluções:
$\bullet \ \ x=25\cdot9 \iff x=225$ e $y=25\cdot5 \iff y = 125$
$\bullet \ \ x=25\cdot45 \iff x=1125$ e $y=25\cdot1 \iff y=25$