Question

Problemas que envolvem derivadas, requer que empreguemos as mais diferentes regras de acordo com as funções. Para determinarmos a derivada de funções compostas devemos utilizar a regra da cadeia. A partir da definição de regra da cadeia, assinale a alternativa que corresponde a derivada da função

f(x) = ln(x³ + x)

A) f'(x) = (3x²+x)/(x³+x)
B) f'(x) = (3x²+1)/x³
C) f'(x) = (3x²+1)/(x³+x) ALTERNATIVA CORRETA
D) f'(x) = (3x³+1)/(x³+x)
E) f'(x) = (3x²+2)/(x³+x)

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \ln(x {}^{3} + x)$

Aplicando a derivada na função:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx} \ln(x {}^{3} + x)$

Note que essa função é composta, ou seja, há uma função dentro de outra, para que possamos derivar, usaremos a regra da cadeia, então chamaremos as funções de:

$u = x {}^{3} + x \: \: \: e \: \: \: f(x) = \ln (u)$

A regra da cadeia no diz que:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{df(x)}{du}. \frac{du}{dx}$

Então vamos substituir os dados no seus devidos locais:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{du} \ln(u). \frac{d}{dx} (x {}^{3} + x) \\ \\ \frac{df(x)}{dx} = \frac{1}{u} .(3x {}^{2} + 1) \\ \\ \frac{df(x)}{dx} = \frac{3x {}^{2} + 1 }{u}$

Repondo a função que caracteriza "u"

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{3x {}^{2} + 1}{ x {}^{3} + x }$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

E aí Junior, blz.

Seguinte, a regra da cadeia diz que quando temos uma função composta, como:

Seja f e g funções definidas nos reais, a composição (f o g) será

$h(x) = f(g(x))$

Claro que eu pulei muitos detalhes desse assunto, mas vamos assumir que tu já saiba disso hehe

Como tinha dito antes, a regra da cadeia diz que

$h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)$

Ou seja, a gente deriva primeira a função mais externa repetindo a interna, e depois multiplica essa derivada pela derivada da função interna, louco né, a matemática é assim mesmo. Bora usar isso na função da questão.

A função é

$f(x) = ln(x^3+x)$

Repara que aqui é a composição de duas funções.

$g(x) = ln(x) \ \ \ \ e \ \ \ \ h(x) = x^3+x$

Sendo então

$f(x) = g(h(x))$

Pegou a ideia?

Então a gente deriva primeiro g(x) e repete h(x)

A derivada da função ln(x) é

$g'(x) = \dfrac{1}{x}$

Mas o x da função g'(x) corresponde a h(x) = x³ + x, então a gente reescreve assim:

$g'(h(x)) = \dfrac{1}{h(x)}=\dfrac{1}{x^3+x}$

Agora a gente multiplica g'(h(x)) pela derivada da função h(x), que tu deve tá enjoado de saber que é

$h'(x) = 3x^2+1$

Então

$f'(x) = \dfrac{1}{x^3+x}\cdot (3x^2+1) = \dfrac{3x^2+1}{x^3+x}$

Bons estudos mlk.