Question

Problemas de variação de temperatura : A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente, dT/dt = k( T- Tm) Supondo que um objeto à temperatura inicial de 500F é colocado ao ar livre , onde a temperatura ambiente é de 100 0 F . Se após 5 minutos a temperatura do objeto é de 60 oF , determinar a temperatura do corpo após 20 min.

Answer 1

$\frac{dT}{dt}$ = -K (T - Tm)

Fazendo a separação de variáveis

$\frac{dT}{(T - Tm)}$ = - k dt

ln (T - Tm) = -kt - C

T - Tm = $e^{-kt}$  . $e^{C}$

T = Tm + C$e^{-kt}$

Fazento t = 0, temos C = T - Tm, logo

T = Tm + (T - Tm)$e^{-kt}$

como foi dado a temperatura inicial = 50º F e a temperatura do ambiente = 100º F, a equação fica

T = 100 + (50 - 100)$e^{-kt}$

T = 100 - 50$e^{-kt}$

Calculo de  k, onde após 5 min (t=300s) a temperatura é 60ºF

60 = 100 -50$e^{-k.300}$

60 - 100 = -50$e^{-k.300}$

$\frac{-40}{-50}$ = $e^{-k.300}$

ln ($\frac{4}{5}$ = ln $e^{-k.300}$

- 0,2231 = -300 k

k = 7,44 x $10^{-4}$

Para t = 20 min = 1200s, temos que T será

T = 100 - 50$e^{-7,44.10^{-4}.1200 }$

T = 100 - 50$e^{-0,8928}$

T = 100 - 20,48

T = 79,5 º F

Abraços