Question

 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO. Serão construídas seis jaulas em um zoológico para receber novos animais . Para realizar esta obra o zoológico dispõe de 300 m de gradeado. Determine as dimensões x e y que proporcionam a maximização da área cercada.

Answer 1

Olá, Sibsbs.

A área de uma jaula é f(x,y) = xy. Esta é a função a ser maximizada.

O perímetro de uma jaula é dado por 2x + 2y. O perímetro de seis jaulas:
6(2x + 2y) = 6 · 2(x + y) = 12(x + y)

A condição é que o perímetro total das seis jaulas seja igual aos 300 metros de gradeado disponíveis, ou seja: 12(x + y) = 300 ⇒ x + y = 300 ÷ 12 ⇒ x + y = 25 ⇒
y = 25 - x

Vamos agora substituir esta última expressão na função a ser maximizada,de modo que f(x,y) se torne uma função apenas de x:

f(x,y) = xy = x(25 - x) = 25x - x² = f(x)

Esta função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Isto significa que, no ponto onde a derivada de f(x) se anula, este ponto é o máximo de f(x). Derivemos f(x) e igualemos a zero:

f '(x) = 25 - 2x = 0 ⇒ 2x = 25⇒ x = 12,5 m

Como x + y = 25, então y = 12,5 m. 

Answer 2

Considerando que as seis jaulas sõa independentes (sem ligação uma com as outras)

1 jaula = 300/6 = 50 m de grade
Considerando jaulas retangulares com fechamento lateral somente temos um retângulo de lados x e y.
 Assim
perímetro :  2x + 2y = 50 ==> x + y = 25  ==> y = 25  x
Área =A = x . y ==>  A= x ( 25 - x) = -x² + 25.. ( função do segundo grau)
 
Seu grafico será uma parábola com concavidade para baixo e terá um ponto de máximo, dado pelo vértice, Assim
Xv = -b/2a = -25/(2 . (-1))= 12,5m  (Este valor de lado resulta em área máxima, logo as jaulas serão quadradas de lados medindo 12,5 m.

OBS: Esta solução foi obtida com conhecimentos do ensino médio.
Poderiamos obter a derivada da Função Área igualando a zero que obteriamos o mesmo resultado.