Question

Problemas de Máximos e mínimos! Parte 2 Valendo 25 Pontos !!

Obs: para responder tudo hoje, ou ate as primeiras horas da madrugada.

1) Encontre, sobre a curva y ^{2} -x^{2} =1 , o ponto mais próximo do ponto ( -1,0).

2) Mostre que dentre todos os triângulos isósceles de igual perímetro o que tem maior área é o triângulo equilátero.

3) Determine o cilindro reto inscrito numa esfera de raio R, que tenha volume máximo.

Answer 1

Olá, Luana.


1) A distância ao quadrado do ponto (x,y) ao ponto (-1,0) é dada por:

$f(x,y)=(x+1)\²+y\²$

Esta é a função a ser minimizada. Por outro lado, temos a seguinte condição:
$y ^{2} -x^{2} =1\Rightarrow y\²=1+x\²$

Substituindo esta condição em f(x,y), reduzimos o problema a uma variável apenas:

$f(x,y)=(x+1)\²+y\²=(x+1)\²+1+x\²=\\\\=x\²+2x+1+1+x\²=2x\²+2x+2=f(x)$

Derivando f(x) e igualando a zero, temos:
$f'(x)=0\Rightarrow 4x+2=0\Rightarrow\boxed{x^*=-\frac12}$

Observe que $x^*$ é um mínimo global pois 2x² + 2x + 2 é uma parábola com a concavidade voltada para cima, com um único mínimo em seu vértice.
Substituindo $x^*$ na condição, temos:
$(y^*) ^{2} -(x^*)^{2} =1\Rightarrow (y^*) ^{2} =1+\frac14\Rightarrow \boxed{y^*=\frac{\sqrt5}2}$


2) A área do triângulo, de acordo com o Teorema de Heron, é dada por:

$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c),$ onde a, b e c são os lados do triângulo
e p é o seu semiperímetro.

Chamemos de x os lados iguais do triângulo isósceles e de y sua base. Utilizemos, para facilitar a derivação, a área ao quadrado A². Ficamos, então, com a seguinte expressão da área ao quadrado em função dos lados x e y:

$A^2(x,y)=p(p-x)\²(p-y)$

Como 2x + y = 2p ⇒ y = 2p - 2x, podemos, então, reduzir a expressão a ser maximizada do quadrado da área a uma única variável:

$A^2(x,y)=p(p-x)\²(p-2p+2x)=p(p-x)\²(2x-p)=A(x)$

Derivando a expressão de A(x), por meio da regra do produto, temos:

$A'(x) = p[-2(p-x)(2x-p)+2(p-x)\²] =\\\\= p(p-x)[-4x+2p+2p-2x] = \\\\ = p(p-x)(4p-6x)$

Os valores de x para os quais A'(x) se anula são:

$\begin{cases}x_1=p\text\\\\\\x_2=\frac23p\end{cases}$

A primeira solução $x_1=p$ nos leva a y = 2p - 2x = 0 (não interessa).

A segunda solução $x_2=\frac23p$ nos leva a y = 2p - 2x = $\frac23p$

Temos, com esta segunda solução, x = y, ou seja, todos os lados do triângulo com valores iguais, ou seja, um triângulo equilátero, como queríamos demonstrar.

3) Volume do cilindro: V = πr²h, onde h é a altura do cilindro e r o raio de sua base.Como o cilindro está inscrito numa esfera, então a diagonal d que liga seu centro até a borda de sua base é igual ao raio da esfera, ou seja, d = R.
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

d² = (h/2)² + r² ⇒ R² = (h/2)² + r² ⇒ h²/4 = R² - r² ⇒  h² = 4(R² - r²)

O volume do cilindro ao quadrado fica, portanto:

$V\²(r) = \pi\²r^4\cdot4(R\² - r\²) = 4\pi\²(R\²r^4 - r^6)$

Derivando V² e igualando a zero, temos:

$4\pi\²(4R\²r\³ - 6r^5) = 0 \Rightarrow 4\pi\²r\³(4R\² - 6r\²) = 0 \Rightarrow\\\\ 4R\² - 6r\² = 0 \Rightarrow 6r\² = 4R\² \Rightarrow\\\\ \sqrt6 r = 2R \Rightarrow 6r = 2\sqrt6 R \Rightarrow\\\\ \boxed{r^* =\frac{\sqrt6}3R}$

Este é o raio da base do cilindro de maior volume possível inscrito em uma esfera.

A altura do cilindro é dada por:

$h\² = 4(R\² - r^*\²)=4[R\² - (\frac{\sqrt6}3R)\²]=4R^2-\frac83R^2=\frac{4}{3}R^2\Rightarrow$

$\boxed{h^*=\frac{2\sqrt3}{3}R}$