Problema. Teoria dos números
Preciso de uma demonstração (resposta) para o seguinte problema
Para quais números inteiros n o produto n.(n + 3) é um quadrado perfeito?
Soluções para a tarefa
Olá,
Observando que n (n + 3) = n ^2 + 3n, percebemos que já parece um quadrado! Podemos observar que:
(n - 1)^ 2 = n ^2 - 2n + 1, n ^2 , (n + 1) ^2 = n ^2 + 2n + 1, (n + 2) ^2 = n ^2 + 4n + 4
são os mais prováveis de igualar a expressão do problema.Mas claro, existem outros.
Precisamos ser sistemáticos. Primeiro, suponha que n = 0, então n (n + 3) = 0, que é um quadrado.
Segundo, suponha que n seja um número inteiro positivo. Então n ≥ 1, então
(n + 2) ^2 = n ^2 + 4n + 4 > n ^2 + 3n ≥ n ^2 + 2n + 1 = (n + 1) ^2
Se n(n + 3)≠ (n + 1) ^2 então é estritamente entre dois quadrados consecutivos e, portanto, não é um quadrado. este iria contradizer o que queremos e assim, n(n + 3) = (n + 1) ^2 . Expandir e simplificar fornece n = 1.
Por fim, suponha que n seja negativo. Com o valor negativo, é um pouco mais difícil definir onde o quadrado será
mentira. Mas observe que se −3 <n ≤ −1, então n (n + 3) é realmente negativo (e, portanto, não é um quadrado), pois o termo entre colchetes é positivo enquanto n é negativo. Então, estamos claramente trabalhando com n ≤ −3. É mais fácil trabalhar com inteiros positivos, então vamos considerar
n = −N
e então, N ≥ 3. Estamos tentando fazer −N(−N + 3) = N^2 - 3N um
quadrado.
Como N ≥ 3, observe que N^2 - 6N + 9 ≤ N^2 - 3N. Além disso,
N^2 - 3N<N^2 - 2N + 1,
então juntos temos (N - 3) ^2 = N ^2 - 6N + 9 ≤ N ^2 - 3N <N ^2 - 2N + 1 = (N - 1) ^2 .
Logo, N^2 − 3N = (N − 3) ^2 ou N^2 − 3N = (N − 2) ^2 . Expandindo ambas as possibilidades, teremos N = 3 e N = 4, respectivamente.
Desse modo, todas as soluções para n são n = −4, −3, 0 e 1.
Bons estudos.
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
A resposta para o seu problema é
n=-4,-3, 0 e 1.
Basta substituir e comprovar que gera um quadrado.