Question

Problema 9.8. É possível escrever mais de 50 números diferentes com dois
algarismos em um quadro-negro sem haver dois números no quadro cuja
soma seja igual a 100?Justifique.

Answer 1

É impossível escrever mais de 50 números diferentes com dois algarismos sem que hajam dois números cuja soma resulte em 100.

Temos um total de 90 números com dois algarismos (do 10 até o 99).

Até o 90, sempre que escrevermos um deles teremos que eliminar a possibilidade de escrever aquele que resultaria em 100 quando somado com ele (se escrevermos o 22 não poderemos escrever o 78 por exemplo), o único que não elimina nada é o 50.

Então do 10 até o 90 temos 81 números, 1 deles (o número 50) pode ser escrito sem preocupação, enquanto os outros 80 sempre que eu escolher um ele vai eliminar a possibilidade de escrever outro. No total então só poderemos escrever um máximo 41 números que estejam entre 10 e 90.

Somando estes 41 números com os 9 números que vão do 91 até o 99 (estes não eliminam nada porque não poderíamos escrever números com 1 algarismo de qualquer jeito) concluímos que podemos escrever no máximo 50 números diferentes sob estas condições.