Question

Problema 8.. Números com 5 Algarismos: Com 5 algarismos não nulos, podemos
formar 120 números, sem repetir algarismo em um mesmo número. Seja S a soma de
todos esses números. Determine a soma dos algarismos de S, sendo:
a) 1, 3, 5, 7 e 9 os 5 algarismos;
b) 0, 2, 4, 6 e 8 os 5 algarismos, lembrando que 02468 é um número com 4 algarismos
e, portanto, não teremos 120 números neste caso.​

Answer 1

Resposta:

a)16666500  b) 5333280

Explicação passo-a-passo:

sabendo que 51739 = 5 × 10000 + 1 × 1000 + 7 × 100 + 3 × 10 + 9 × 1

a)

sabendo que podemos formar 120 números, e temos 5 algarismos,

120 ÷ 5 = 60

logo, cada numero aparecerá 60 vezes em cada posição, (ex: o numero 5 irá aparecer 60x nas unidades, 60x nas dezenas, 60x nas centenas e etc.)

sabendo disso, os números 1, 3, 5, 7, 9, aparecerão 60x na casa de dezena de milhar, onde serão multiplicados por 10000 (com já demonstrado antes), logo teremos :

( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) × 60 × 10000

= 15000000

como os números não irão se alterar na casa de milhar e nem nas outras casas, teremos:

( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) × 60 × 1000 +

( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) × 60 × 100 +

( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) × 60 × 10 +

( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) × 60 × 1

a soma de tudo isso mais a soma do termo anterior é = 16666500

b)

como o 0 não pode ficar em 1° lugar, temos apenas 96 números de 5 algarismos distintos em que o 0 não aparece em 1° lugar, porem, logo temos:

96 ÷ 4 = 24 (dividimos por 4 pois o 0 não conta)

usando o mesmo raciocínio da letra anterior, para o 1° algarismo temos:

(2 + 4 + 6 + 8) × 24 × 10000

= 4800000

usando o mesmo raciocínio da letra a temos: 5333280

Answer 2

Corrigindo o erro da outra resposta, letra a, 120 dividido por 5 não é 60, e sim 24, então a conta seria:

( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) × 24 × 10000 +

( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) × 24 × 1000 +

( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) × 24 × 100 +

( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) × 24 × 10 +

( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) × 24 × 1 = 6.666.600

Espero ter ajudado :D