Question

Problema 4: Na figura mostrada abaixo os segmentos destacados (em vermelho) tem o mesmo comprimento. Determinar todos os ângulos no interior do triangulo ABC.

Answer 1

• O que é um triângulo isósceles?

É um polígono que apresenta três lados, sendo dois deles congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

• Resolvendo o problema

A solucão do problema se baseia na imagem anexa.

Vamos chamar o ângulo FCG de $\alpha$.

Como o triângulo CFG tem dois lados iguais e, por isso é isósceles, o ângulo CGF também será igual a $\alpha$.

Como o lado DG é paralelo ao lado FC e o lado CG é paralelo ao lado GA, o ângulo AGD também será igual a $\alpha$.

Como o triângulo AGD é igual ao triângulo BDE, o ângulo BDE também será igual a $\alpha$.

Isso nos leva à letra a) da imagem anexa.

Como o triângulo BDE tem dois lados iguais e, por isso é isósceles, os ângulos DBE e BED são iguais. Vamos chamar esses ângulos de $\beta$.

Como o triângulo AGD é igual ao triângulo BDE, seus dois ângulos que faltam também serão iguais a $\beta$.

Isso nos leva à letra b) da imagem anexa.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos que

$\alpha+\beta+\beta=180^{\circ}$

Como, no ponto D, já temos um ângulo $\alpha$ e um $\beta$, então o ângulo que falta para completar os 180°, ou seja, o ângulo EDG também é igual a $\beta$.

Como a figura DEFG é um paralelepípedo, seus ângulos opostos devem ser iguais e, por isso, o ângulo EFG também é igual a $\beta$.

Isso nos leva à letra c) da imagem anexa.

Vamos chamar os ângulos que faltam no quadrilátero DEFG de $\gamma$.

Como o lado DE é paralelo ao lado GF e o lado EF é paralelo ao lado FC, o ângulo GFC também será igual a $\gamma$.

Isso nos leva à letra d) da imagem anexa, com todos os ângulos definidos.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos que

$\alpha+\beta+\beta=180^{\circ}\\\\\alpha+2\beta=180^{\circ} \quad \quad (Eq.~1)\\\\\\\alpha+\alpha+\gamma=180^{\circ}\\\\2\alpha+\gamma=180^{\circ} \quad \quad (Eq.~2)$

Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360°, temos que

$\beta+\beta+\gamma+\gamma=360^{\circ}\\\\2\beta+2\gamma=360^{\circ}\\\\\beta+\gamma=180^{\circ} \quad \quad (Eq.~3)$

Da equação 3, temos

$\beta+\gamma=180^{\circ}\\\\\beta=180^{\circ}-\gamma$

Substituindo essa valor na equação 1

$\alpha+2\beta=180^{\circ}\\\\\alpha+2(180^{\circ}-\gamma)=180^{\circ}\\\\\alpha+360^{\circ}-2\gamma=180^{\circ}\\\\\alpha-2\gamma=180^{\circ}-360^{\circ}\\\\\alpha-2\gamma=-180^{\circ} \quad \quad (Eq.~4)$

Da equação 2, temos

$2\alpha+\gamma=180^{\circ}\\\\\gamma=180^{\circ}-2\alpha$

Substituindo essa valor na equação 4

$\alpha-2\gamma=-180^{\circ}\\\\\\\alpha-2(180^{\circ}-2\alpha)=-180^{\circ}\\\\\alpha-360^{\circ}+4\alpha=-180^{\circ}\\\\\alpha+4\alpha=-180^{\circ}+360^{\circ}\\\\5\alpha=180^{\circ}\\\\\alpha=\dfrac{180^{\circ}}{5}\\\\\boxed{\boxed{\alpha=36^{\circ}}}$

Substituindo essa valor na equação 2

$2\alpha+\gamma=180^{\circ}\\\\2~.~36^{\circ}+\gamma=180^{\circ}\\\\72^{\circ}+\gamma=180^{\circ}\\\\\gamma=180^{\circ}-72^{\circ}\\\\\boxed{\boxed{\gamma=108^{\circ}}}$

Substituindo essa valor na equação 3

$\beta+\gamma=180^{\circ}\\\\\beta+108^{\circ}=180^{\circ}\\\\\beta=180^{\circ}-108^{\circ}\\\\\boxed{\boxed{\beta=72^{\circ}}}$

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/26191147