Question

(probabilidade)
preciso montar uma senha que tenha caracteres nela pode conter números ou letras.
qual é a probabilidade de haver 5 algarismos nela (algarismos de 1 a 9)

Answer 1

O espaço amostral Ω é dado pelo conjunto

$\Omega=\{\omega=(\omega_{1},~\omega_{2},~...,~\omega_{8})~:~\omega_{i}\in\{a,b,...,y,z,1,2,..9\}~\forall~1\le i\le8\}$

A cardinalidade de omega é facilmente calculada. Já que $#\{a,b,..z,1,2,...9\}=26+9=35$, temos que

$\#\Omega=35\cdot35\cdot...\cdot35=35^{8}$

Esse é o total de senhas de tamanho 8 que podem ser produzidas
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Considere uma senha da forma DDDDDLLL

Para o primeiro digito, existem 9 possibilidades (os número de 1 a 9)
Para o segundo, existem 9 possibilidades
...
Para o quinto, existem 9 possibilidades
Para o sexto, existem 26 possibilidades (as letras do alfabeto)
Para o sétimo, existem 26 possibilidades
Para o oitavo, existem 26 possibilidades

Então, a quantidade de senhas da forma DDDDDLLL é

$x=9^{5}\cdot26^{3}$

Podemos permutar 5 dígitos e 3 letras numa senha da forma acima, de modo a encontrar a quantidade de todas as senhas com 5 digitos e 3 letras.

Então, a quantidade de senhas dessa forma é dada por

$n=x\cdot P_{8}^{5,3}\\\\\\n=9^{5}\cdot26^{3}\cdot\dfrac{8!}{5!3!}\\\\\\n=9^{5}\cdot26^{3}\cdot\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot3\cdot2\cdot1}\\\\\\n=9^{5}\cdot26^{3}\cdot\dfrac{8\cdot7\cdot6}{6}\\\\\\\boxed{\boxed{n=56\cdot9^{5}\cdot26^{3}}}$

Sendo A o conjunto de senhas da forma DDDDDLLL, temos que

$\boxed{\boxed{\#A=56\cdot9^{5}\cdot26^{3}}}$
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A probabilidade do evento A ocorrer, ou seja, de obtermos uma senha com 5 algarismos e 3 letras é

$P(A)=\dfrac{\#A}{\#\Omega}\\\\\\\boxed{\boxed{P(A)=\dfrac{56\cdot9^{5}\cdot26^{3}}{35^{8}}}}$