Question

Probabilidade condicional

P(A/B) = P (A ∩ B)/P(B)

No lançamento de 2 dados, observando as faces de cima, para calcular a probabilidade de sair o número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos 2 números é maior que 7; fazemos:

Answer 1

✅ A probabilidade de sair o número 5 no primeiro dado dado que a soma é maior que 7 é P(A∩B) = 0,2667 = 26,67%

 

☁ Probabilidade clássica: A lei de Laplace para as probabilidades de eventos equiprováveis é a razão entre a cardinalidade do evento pela cardinalidade do espaço amostral

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad P(\mathcal{A}) = \dfrac{\Vert\mathcal{A}\Vert}{\Vert\varOmega\Vert} \qquad }}}$

 

⚠️ Essa expressão é comumente traduzida para: “A probabilidade com iguais chances para todos os sub eventos de um evento acontecer é a razão entre número de casos favoráveis pelo número de casos totais”.

 

☁ Probabilidade condicional: Sejam $\rm \mathcal{A}$ e $\rm \mathcal{B}$ eventos do espaco amostral $\rm \varOmega$. em que a probabilidade de $\rm \mathcal{B}$ é maior que zero [ $\rm P(\mathcal{B}) > 0$ ]. Então define-se por probabilidade condicional do evento $\rm A$ dado que $\rm B$ aconteceu, como

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad P(\mathcal{A}\mid\mathcal{B}) = \dfrac{P(\mathcal{A}\cap\mathcal{B})}{P(\mathcal{B})}\qquad }}}$

 

ℹ️ A cardinalidade de um conjunto é a quantidade de elementos nele contido. Por exemplo, $\rm \Gamma = \{1, 3, 5, 7\}$ é um conjunto com cardinalidade $\rm \Vert\Gamma\Vert = 4$.

 

✍️ Solução: No lançamento de dois dados temos o seguinte espaço amostral. Note que por permutação, podemos estabelecer a cardinalidade.

$\large\begin{array}{lr}\rm \varOmega = \{(1,1),(1,2),(1,3),\ldots,(6,4),(6,5),(6,6)\} \Rightarrow \Vert\varOmega\Vert = 6! = 36 \end{array}$

Definamos $\mathcal{A}$ como o evento em que os lançamentos do primeiro dado resultam em 5

$\large\begin{array}{lr}\rm \mathcal{A} = \{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\} \Rightarrow \Vert\mathcal{A}\Vert = 6 \end{array}$

Definamos ainda $\mathcal{B}$ como o evento em que a soma dos valores obtidos em cada lançamento seja 7

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \mathcal{B} = \{&(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),\\&(5,5),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\} \Rightarrow \Vert\mathcal{B}\Vert = 15 \end{aligned}\end{array}$

Note que a intersecção $\mathcal{A}\cap\mathcal{B}$ é o conjunto

$\large\begin{array}{lr}\rm \mathcal{A\cap B} = \{(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\} \Rightarrow \Vert\mathcal{A\cap B}\Vert = 4 \end{array}$

 

Então, a probabilidade de $\mathcal{A}$ acontecer dado que $\mathcal{B}$ aconteceu será

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm P(\mathcal{A}\mid\mathcal{B}) &= \dfrac{\dfrac{4}{36}}{\dfrac{15}{36}} \\\\&=\rm \dfrac{4}{36} \cdot \dfrac{36}{15} \\\\&=\rm \dfrac{4}{15} \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: P(\mathcal{A\mid B}) = 0,2667 = 26,67\% }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare \end{array}$

 

✔️ Essa é a probabilidade do primeiro lançamento ser 5, sabendo que a soma dos dois lançamentos foi 7.

 

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre probabilidade:

• brainly.com.br/tarefa/50134107
• brainly.com.br/tarefa/50957310

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$