Question

PROBABILIDADE

Cada pessoa de um grupo contendo cinco pessoas escolherá aleatoriamente um número natural de 1 a 10. Qual é a probabilidade de que ao menos três integrantes desse grupo escolham o mesmo número ?​

COMO CALCULAR?​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

=> Três pessoas escolhem o mesmo número

• Casos possíveis: há 10 possibilidades para cada uma das 5 pessoas.

Temos 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100000 casos possíveis

• Casos favoráveis: note que não sabemos quais pessoas escolherão o mesmo número, nem qual será esse número, nem quais serão os números escolhidos pelas outras pessoas

O número de maneiras de escolher 3 das 5 pessoas é:

$\sf \dbinom{5}{3}=\dfrac{5\cdot4\cdot3}{3!}$

$\sf \dbinom{5}{3}=\dfrac{60}{6}$

$\sf \dbinom{5}{3}=10$

Há 10 maneiras de escolher um número para essas três pessoas. Para as outras 2 pessoas, temos 9 x 8 = 72 possibilidades

Logo, há 10 x 10 x 9 x 8 = 7200 casos favoráveis.

A probabilidade é $\sf \dfrac{7200}{100000}$

=> Quatro pessoas escolhem o mesmo número

O número de maneiras de escolher 4 das 5 pessoas é:

$\sf \dbinom{5}{4}=\dfrac{5\cdot4\cdot3\cdot2}{4!}$

$\sf \dbinom{5}{4}=\dfrac{120}{24}$

$\sf \dbinom{5}{4}=5$

Há 10 maneiras de escolher um número para essas quatro pessoas. Para a outra pessoa há 9 possibilidades

Temos 5 x 10 x 9 = 450 casos favoráveis

A probabilidade é $\sf \dfrac{450}{100000}$

=> As cinco pessoas escolhem o mesmo número

Há 10 maneiras de escolher um número para essas cinco pessoas.

Temos 10 casos favoráveis

A probabilidade é $\sf \dfrac{10}{100000}$

Somando as probabilidades encontradas:

$\sf P=\dfrac{7200}{100000}+\dfrac{450}{100000}+ \dfrac{10}{100000}$

$\sf P=\dfrac{7660}{100000}$

$\sf P=\dfrac{383}{5000}$

$\sf \red{P=7,66\%}$