Question

Probabilidade alguém poderia me explicar com um passo a passo

Um saco contém 5 bolas pretas, 4 bolas amarelas e 4 vermelhas. Sorteia-se simultaneamente 3 bolas. A probabilidade de todas serem vermelhas, percentualmente será de...

a) Se forem 2 pretas simultaneamente, o percentual seria de

Answer 1

No total, há 13 bolas e dessas 4 são vermelhas.

Como não há reposição das bolinhas a cada novo sorteio, teremos a seguinte situação:

--> 1ª bola: Temos 13 bolinhas na urna e dessas 4 são vermelha, logo a probabilidade de a bola retirada ser vermelha é de 4 em 13:

$P(1^a~bola~verm)~=~\frac{4}{13}$

--> 2ª bola: Como uma bola (vermelha) já foi retirada, sobraram na urna 12 bolinhas e dessas 3 são vermelhas, logo a probabilidade de a bola retirada ser vermelha é de 3 em 12:

$P(2^a~bola~verm)~=~\frac{3}{12}$

--> 3ª bola: Como duas bolas (vermelhas) já foram retiradas, sobraram na urna 11 bolinhas e dessas 2 são vermelhas, logo a probabilidade de a bola retirada ser vermelha é de 2 em 11:

$P(3^a~bola~verm)~=~\frac{2}{11}$

Agora, para determinarmos a probabilidade desses 3 eventos ocorrerem, basta multiplicarmos as probabilidades:

$P(3~bolas~vermelhas)~=~\frac{4}{13}~.~\frac{3}{12}~.~\frac{2}{11}\\\\\\P(3~bolas~vermelhas)~=~\frac{4~.~3~.~2}{13~.~12~.~11}\\\\\\P(3~bolas~vermelhas)~=~\frac{24}{1716}\\\\\\\boxed{P(3~bolas~vermelhas)~=~\frac{2}{143}~\approx~0,0140~~ou~~1,40\%}$

Outra forma para resolver a mesma questão seria utilizando analise combinatória.

--> Nosso evento de interesse são todas combinações de 3 das 4 bolinhas vermelhas.

--> Nosso espaço amostral são todas as possíveis combinações de 3 das 13 bolinhas na urna.

Sendo assim, a probabilidade de retirar 3 vermelhas, fica:

$P(3~vermelhas)~=~\frac{^{Combinacoes~de~3}_{~bolas~vermelhas}}\\{^{Combinacoes~de~3}_{~bolas~quaisquer}}\\\\\\P(3~vermelhas)~=~\frac{C_{4,3}}{C_{13,3}}\\\\\\P(3~vermelhas)~=~\frac{\frac{4!}{3!\,.\,(4-3)!}}{\frac{13!}{3!\,.\,(13-3)!}}\\\\\\P(3~vermelhas)~=~\frac{\frac{4!}{3!\,.\,1}}{\frac{13!}{3!\,.\,10!}}\\\\\\P(3~vermelhas)~=~\frac{4}{\frac{13~.~12~.~11}{6~.~1}}\\\\\\P(3~vermelhas)~=~\frac{4}{286}\\\\\\\boxed{P(3~vermelhas)~=~\frac{2}{143}}$

b)

Para retiradas de 2 bolinhas pretas simultaneamente, seguindo a mesma lógica aplicada anteriormente, fica:

$P(2~bolas~pretas)~=~\frac{5}{13}~.~\frac{4}{12}\\\\\\P(2~bolas~pretas)~=~\frac{5~.~4}{13~.~12}\\\\\\P(2~bolas~pretas)~=~\frac{20}{156}\\\\\\\boxed{P(2~bolas~pretas)~=~\frac{5}{39}~\approx~0,1282~=~12,82\%}$

Utilizando analise combinatória:

$P(2~bolas~pretas)~=~\frac{C_{5,2}}{C_{13,2}}\\\\\\P(2~bolas~pretas)~=~\frac{\frac{5!}{2!\,.\,(5-2)!}}{\frac{13!}{2!\,.\,(13-2)!}}\\\\\\P(2~bolas~pretas)~=~\frac{\frac{5!}{2\,.\,3!}}{\frac{13!}{2\,.\,11!}}\\\\\\P(2~bolas~pretas)~=~\frac{\frac{5~.~4}{2}}{\frac{13~.~12}{2}}\\\\\\P(2~bolas~pretas)~=~\frac{10}{78}\\\\\\\boxed{P(2~bolas~pretas)~=~\frac{5}{39}}$