Question

Princípio da induçaõ finita ,se possível com cálculo: 1²+3²...+(2n-1)² = 1/3 n(2n-1)(2n+1)
1-2²+3²-...+(-1)elevado a n-1 . n²= (-1)elevado a n-1 . n(n+1)/2

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) $1^2+3^2+\dots+(2n-1)^2=\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

A base é $n=1$:

$(2\cdot1-1)^2=\dfrac{1\cdot(2\cdot-1)(2\cdot1+1)}{3}$

$1^2=\dfrac{1\cdot1\cdot3}{3}$

$1=1$ (V)

Vamos supor que isso vale até um certo $n=k$ e provar que vale para $k+1$

$1^2+3^2+\dots+(2k-1)^2+(2k+1)^2=\dfrac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$

Substituindo $1^2+3^2+\dots+(2k-1)^2$ por $\dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$, obtemos:

$\dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2k+1)^2=\dfrac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$

$(2k^2-k)(2k+1)+3(4k^2+4k+1)=(2k^2+3k+1)(2k+3)$

$4k^3+2k^2-2k^2-k+12k^2+12k+3=4k^3+6k^2+2k+6k^2+9k+3$

$4k^3+12k^2+11k+3=4k^3+12k^2+11k+3$

b) $1^2-2^2+3^2-\dots+(-1)^{n-1}\cdot n^2=\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot n(n+1)}{2}$

A base é $n=1$:

$(-1)^{1-1}\cdot 1^2=\dfrac{(-1)^{1-1}\cdot1(1+1)}{2}$

$(-1)^{0}\cdot1=\dfrac{(-1)^{0}\cdot1\cdot2}{2}$

$1=1$ (V)

Vamos supor que isso vale até um certo $n=k$ e provar que vale para $k+1$

$1^2-2^2+3^2-\dots+(-1)^{n-1}\cdot n^2+(-1)^{n}\cdot(n+1)^2=\dfrac{(-1)^{n}\cdot (n+1)(n+2)}{2}$

Substituindo $1^2-2^2+3^2-\dots+(-1)^{n-1}\cdot n^2$ por $\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot n(n+1)}{2}$, obtemos:

$\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot n(n+1)}{2}+(-1)^{n}\cdot(n+1)^{2}=\dfrac{(-1)^{n}\cdot(n+1)(n+2)}{2}$

Dividindo os dois lados por $(-1)^{n-1}$:

$\dfrac{n(n+1)}{2}+(-1)\cdot(n^2+2n+1)=\dfrac{(-1)\cdot(n^2+3n+2)}{2}$

$n^2+n-2n^2-4n-2=-n^2-3n-2$

$-n^2-3n-2=-n^2-3n-2$