Matemática, perguntado por tiaguinhobeja, 8 meses atrás

primitiva f(x)=(1−lnx)/x

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
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Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de propriedades estudadas no cálculo de antiderivadas e primitivas de funções.

Seja a função f(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x}

As primitivas de uma função são calculadas pela integral indefinida, ou antiderivada da função: \displaystyle{\int f(x)\,dx}.

Substituindo a função na integral, temos:

\displaystyle{\int \dfrac{1-\ln(x)}{x}\,dx}

Para resolvermos esta integral, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Faça uma substituição u=1-\ln(x). Calcule o diferencial du, derivando implicitamente a função.

u'=(1-\ln(x))'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=-\dfrac{1}{x}

Multiplique ambos os lados da função por -dx

-du=\dfrac{dx}{x}

Observe que este elemento já está presente na integral, que se torna:

\displaystyle{\int u\cdot(-du)}\\\\\\ \displaystyle{\int -u\,du}

Aplique a propriedade da constante: \displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}

\displaystyle{-\int u\,du}

Aplique a regra da potência: \displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}+C

-\left(\dfrac{u^2}{2}+C_1\right)

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

-\dfrac{u^2}{2}-C_1

Desfaça a substituição e considere -C_1=C

-\dfrac{(1-\ln(x))^2}{2}+C

Esta é a primitiva da função que buscávamos.

Respondido por juniorrocha96
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Explicação passo-a-passo:

\int {(\frac{1-ln(x)}{x} )} \, dx

integrar por substituição

u=1-ln(x)

du=(-\frac{1}{x}) dx\\-du=\frac{dx}{x}

substituindo:

\int(-u) \, du \\\\-\int(u) \, du=-\frac{u^2}{2} +C

voltando para a variável x:

-\frac{u^2}{2} +C=-\frac{(1-ln(x))^2}{2}+C \\\\\therefore \boxed{\int (\frac{1-ln(x)}{x} ) \, dx =-\frac{(1-ln(x))^2}{2}+C}

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