Question

primitiva f(x)=(1−lnx)/x

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de propriedades estudadas no cálculo de antiderivadas e primitivas de funções.

Seja a função $f(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x}$

As primitivas de uma função são calculadas pela integral indefinida, ou antiderivada da função: $\displaystyle{\int f(x)\,dx}$.

Substituindo a função na integral, temos:

$\displaystyle{\int \dfrac{1-\ln(x)}{x}\,dx}$

Para resolvermos esta integral, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Faça uma substituição $u=1-\ln(x)$. Calcule o diferencial $du$, derivando implicitamente a função.

$u'=(1-\ln(x))'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=-\dfrac{1}{x}$

Multiplique ambos os lados da função por $-dx$

$-du=\dfrac{dx}{x}$

Observe que este elemento já está presente na integral, que se torna:

$\displaystyle{\int u\cdot(-du)}\\\\\\ \displaystyle{\int -u\,du}$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$

$\displaystyle{-\int u\,du}$

Aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}+C$

$-\left(\dfrac{u^2}{2}+C_1\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$-\dfrac{u^2}{2}-C_1$

Desfaça a substituição e considere $-C_1=C$

$-\dfrac{(1-\ln(x))^2}{2}+C$

Esta é a primitiva da função que buscávamos.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

$\int {(\frac{1-ln(x)}{x} )} \, dx$

integrar por substituição

u=1-ln(x)

$du=(-\frac{1}{x}) dx\\-du=\frac{dx}{x}$

substituindo:

$\int(-u) \, du \\\\-\int(u) \, du=-\frac{u^2}{2} +C$

voltando para a variável x:

$-\frac{u^2}{2} +C=-\frac{(1-ln(x))^2}{2}+C \\\\\therefore \boxed{\int (\frac{1-ln(x)}{x} ) \, dx =-\frac{(1-ln(x))^2}{2}+C}$