Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos. - (a + b) ² = (a + b). (a + b)
Resolva: (Vale 1,0)
a) ( x + b)²=
b) ( y + 2 )²=
Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos. - (a – b )² = (a – b) . (a – b)
Resolva: (Vale 1,0)
a) ( a – 3)² =
b) (2a – 4)²=
Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos. - a² - b² = (a + b) . (a – b)
Resolva: (Vale 1,0)
a) (3x + 5)(3x - 5) =
b) (2 - 7x)(2 + 7x) =
Quarto caso: Cubo da soma de dois termos. - (a + b)³ = (a + b) . (a + b) . (a + b)
Resolva: (Vale 1,0)
a) (2a + 1)³=
b) (2x + y)³=
Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos. - (a – b)³ = (a – b) . (a – b) . (a – b)
Resolva: (Vale 1,0)
a) (1 – 2a)³=
b) (3y - 1)³ =
Soluções para a tarefa
Resposta:
Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos. Veja:
(x + 2) . (x + 2) =
(y – 3) . (y – 3) =
(z + 4 ). ( z – 4) =
Cinco casos de Produtos Notáveis
Há cinco casos distintos de produtos notáveis, a saber:
Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.
quadrado = expoente 2;
Soma de dois termos = a + b;
Logo, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)2
Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos:
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) =
= a2 + a . b + a . b + b2 =
= a2 + 2 . a . b + b2
Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por:
(a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2
Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
(2 + a)2 =
= 22 + 2 . 2 . a + a2 =
= 4 + 4 . a + a2
(3x + y)2 =
= (3 x)2 + 2 . 3x . y + y2 =
= 9x2 +6 . x . y + y2
Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos.
Quadrado = expoente 2;
Diferença de dois termos = a – b;
Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: (a - b)2.
Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva:
(a - b)2 = (a – b) . (a – b)
= a2 – a . b – a . b + b2 =
= a2 – 2 .a . b + b2
Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável:
(a - b)2 = a2 – 2 .a . b + b2
Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
(a – 5c)2 =
= a2 – 2 . a . 5c + (5c)2 =
= a2 – 10 . a . c + 25c2
(p – 2s) =
= p2 – 2 . p . 2s + (2s)2 =
= p2 – 4 . p . s + 4s2
Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos.
Produto = operação de multiplicação;
Soma de dois termos = a + b;
Diferença de dois termos = a – b;
O produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . (a – b)
Resolvendo o produto de (a + b) . (a – b), obtemos:
(a + b) . (a – b) =
= a2 - ab + ab - b2 =
= a2 + 0 + b2 = a2 - b2
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:
(a + b) . (a – b) = a2 - b2
Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
(2 – c) . (2 + c) =
= 22 – c2 =
= 4 – c2
(3x2 – 1) . (3x2 + 1) =
= (3x2)2 – 12 =
= 9x4 - 1
Quarto caso: Cubo da soma de dois termos
Cubo = expoente 3;
Soma de dois termos = a + b;
Logo, o cubo da soma de dois termos é: (a + b)3
Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos:
(a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) =
= (a2 + a . b + a . b + b2) . (a + b) =
= ( a2 + 2 . a . b + b2 ) . ( a + b ) =
= a3 +2. a2 . b + a . b2 + a2 . b + 2 . a . b2 + b3 =
= a3 +3 . a2 . b + 3. a . b2 + b3
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:
(a + b)3 = a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3
O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.
Exemplos
(3c + 2a)3 =
= (3c)3 + 3 . (3c)2 .2a + 3 . 3c . (2a)2 + (2a)3 =
= 27c3 + 54 . c2 . a + 36 . c . a2 + 8a3
Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos
Cubo = expoente 3;
Diferença de dois termos = a – b;
Logo, o cubo da diferença de dois termos é: ( a - b )3.
Efetuando os produtos, obtemos:
(a - b)3 = (a - b) . (a - b) . (a - b) =
= (a2 - a . b - a . b + b2) . (a - b) =
= (a2 - 2 . a . b + b2) . (a - b) =
= a3 - 2. a2 . b + a . b2 - a2 . b + 2 . a . b2 - b3 =
a3 - 3 . a2 . b + 3. a . b2 - b3
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:
(a - b)3 = a3 - 3 . a2 . b + 3 . a . b2 - b3
O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.
Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos. - (a + b) ² = (a + b). (a + b)
Resolva: (Vale 1,0)
a) ( x + b)²= x²+2xb+b²
b) ( y + 2 )²= y²+4y+4
Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos. - (a – b )² = (a – b) . (a – b)
Resolva: (Vale 1,0)
a) ( a – 3)² = a²-6a+9
b) (2a – 4)²= 4a²-16a+16
Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos. - a² - b² = (a + b) . (a – b)
Resolva: (Vale 1,0)
a) (3x + 5)(3x - 5) = 9x²-25
b) (2 - 7x)(2 + 7x) = 4-49x²
Quarto caso: Cubo da soma de dois termos. - (a + b)³ = (a + b) . (a + b) . (a + b)
Resolva: (Vale 1,0)
a) (2a + 1)³= 8a³+ 12a² + 6a + 1
b) (2x + y)³= 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³
Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos. - (a – b)³ = (a – b) . (a – b) . (a – b)
Resolva: (Vale 1,0)
a) (1 – 2a)³= 1 - 6a + 12a² - 8a³
b) (3y - 1)³ = 27y³ - 27y² + 9y - 1