Question

Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 700m de largura até uma fábrica situada no outro lado do rio, 2500m abaixo. O custo para estender o cabo pelo rio é de R$ 7,00, enquanto que para estendê-lo por terra custa R$ 5,00. Qual o percurso mais econômico para o cabo?

Answer 1

$C _{t} =5 \sqrt{(900 ^{2} +x^{2} )+4(3000-x)}$

Fazendo a derivada temos :

C´t =0 

$\frac{5x}{900 ^{2}+ x^{2} } = 4$

$900 ^{2} + x^{2} =\frac{25 x^{2} }{16}$

$x^{2} = \frac{900 ^{2} .16}{9}$

x = ± 1200

Como x deve ser positivo  e ∈ [0, 3000] segue no único ponto crítico de C, no domínio de interesse.

C(0) = 16500
C(1200) = 14700
C(3000) = 15660

Portanto , que o custo mínimo para instalação do cabo por terra será de R$14700,00
e para obtê-lo deverá percorrer 1800 metros por terra, a partir da Fábrica, depois ir por água até a usina.