Matemática, perguntado por Isabela5645615, 1 ano atrás

PRECISO URGENTEMENTE

Dada a sequência x_{n}:<br /><br /> [tex]x_{n}=(\sqrt{2} , \sqrt{2+\sqrt{2} } , \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2} } } , \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2} } } , ..., \sqrt{2+x_{n} } }


a) Mostre, por indução, que \sqrt{2+x_{n} } \  \textless \  2


b) mostre que a sequência é limitada


c) Mostre que a sequência é monótona


d) Com base nos itens anteriores, conclua que a sequência é ou não é convergente.

Soluções para a tarefa

Respondido por kaykyb
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Resposta:

a) Veja que, para P(1), temos:

\sqrt{2} &lt; 2 \Leftrightarrow 2 &lt; 4

O que claramente é verdade.

Agora, assumindo P(k) como verdadeiro, para P(k+1), temos:

\sqrt{2 + x_k} &lt; 2 \Leftrightarrow 2 + x_n &lt; 4 \Leftrightarrow x_n &lt; 2

Ou seja, P(k+1) é verdadeiro se, e somente se, P(k) é verdadeiro. Como estamos assumindo tal fato, fica provado a indução.

b) Seja a = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}. Veja que a^2 = 2 + a, daí segue que, a = \dfrac{ -1 \pm 3}{-2}, mas como não temos parcelas negativas, a = 2. Ou seja, a sequência é limitada a 2.

c) A sequência é monótona crescente pois \sqrt{2} &lt; \sqrt{2 + \sqrt{2}}, já que \sqrt{2} &gt; 0.

d) Toda sequência monótona e limitada é convergente.

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