Preciso Urgenteeee!!!!!! Estou dando 50 pontos para quem me ajudar!!!
1 - Um líquido volátil diminui seu volume na ordem de 20% por hora.
a) Determine o volume do líquido em t horas. A resposta deste item deve ser expressa por uma função.
b) Determine o tempo para que o líquido tenha seu volume reduzido a metade. (Use log2 = 0,3 e log10 = 1)
Soluções para a tarefa
1) Seja V_{0}V
0
o volume inicial do líquido no instante t=0t=0 , onde tt é dado em horas. Então a função V(t)V(t) nos fornece o volume restante de líquido quando se passaram tt horas.
Sendo 20\%=0,220%=0,2 , temos que
\begin{gathered}V(1)=V_{0}-0,2V_{0}=0,8\cdot V_{0}\\ \\ V(2)=V(1)-0,2V(1)=0,8V(1)=0,8 \cdot 0,8 \cdot V_{0}=0,8^{2} \cdot V_{0}\\ \\ V(3)=0,8\cdotV(2)=0,8 \cdot 0,8^{2}\cdot V_{0}=0,8^{3} \cdot V_{0}\end{gathered}
V(1)=V
0
−0,2V
0
=0,8⋅V
0
V(2)=V(1)−0,2V(1)=0,8V(1)=0,8⋅0,8⋅V
0
=0,8
2
⋅V
0
V(3)=0,8\cdotV(2)=0,8⋅0,8
2
⋅V
0
=0,8
3
⋅V
0
Seguindo esse padrão, encontramos a expressão para o volume restante apos tt horas
\boxed{V(t)=0,8^{t}\cdot V_{0}}
V(t)=0,8
t
⋅V
0
Queremos encontrar o instante tt , em que o volume nesse instante é a metade do volume inicial, ou seja
V(t)=\frac{1}{2}V_{0}V(t)=
2
1
V
0
Então temos
\begin{gathered}\overbrace{0,8^{t}\cdot V_{0}}^{V(t)}=\frac{1}{2} \cdot V_{0}\\ \\ 0,8^{t}=\frac{1}{2}\\ ( 10^{\log(0,8)})^t=\frac{1}{2}\\ \\ (10^{\log(0,8)\cdot t} )=\frac{1}{2}\\ \\ \log(0,8)\cdot t=\log(\frac{1}{2})\\ \\ \log(0,8)\cdot t=-\log(2)\\ \\ t = -\frac{\log(2)}{\log(0,8)}\\ \\ \boxed{t \approx 3,1 \text{ h} = 3 \text{ h }6 \text{ min}}\end{gathered}
0,8
t
⋅V
0
V(t)
=
2
1
⋅V
0
0,8
t
=
2
1
(10
log(0,8)
)
t
=
2
1
(10
log(0,8)⋅t
)=
2
1
log(0,8)⋅t=log(
2
1
)
log(0,8)⋅t=−log(2)
t=−
log(0,8)
log(2)
t≈3,1 h=3 h 6 min
Resposta:
Seja V_{0}V
0
o volume inicial do líquido no instante t=0t=0 , onde tt é dado em horas. Então a função V(t)V(t) nos fornece o volume restante de líquido quando se passaram tt horas.
Sendo 20\%=0,220%=0,2 , temos que
\begin{gathered}V(1)=V_{0}-0,2V_{0}=0,8\cdot V_{0}\\ \\ V(2)=V(1)-0,2V(1)=0,8V(1)=0,8 \cdot 0,8 \cdot V_{0}=0,8^{2} \cdot V_{0}\\ \\ V(3)=0,8\cdotV(2)=0,8 \cdot 0,8^{2}\cdot V_{0}=0,8^{3} \cdot V_{0}\end{gathered}
V(1)=V
0
−0,2V
0
=0,8⋅V
0
V(2)=V(1)−0,2V(1)=0,8V(1)=0,8⋅0,8⋅V
0
=0,8
2
⋅V
0
V(3)=0,8\cdotV(2)=0,8⋅0,8
2
⋅V
0
=0,8
3
⋅V
0
Seguindo esse padrão, encontramos a expressão para o volume restante apos tt horas
\boxed{V(t)=0,8^{t}\cdot V_{0}}
V(t)=0,8
t
⋅V
0
Queremos encontrar o instante tt , em que o volume nesse instante é a metade do volume inicial, ou seja
V(t)=\frac{1}{2}V_{0}V(t)=
2
1
V
0
Então temos
\begin{gathered}\overbrace{0,8^{t}\cdot V_{0}}^{V(t)}=\frac{1}{2} \cdot V_{0}\\ \\ 0,8^{t}=\frac{1}{2}\\ ( 10^{\log(0,8)})^t=\frac{1}{2}\\ \\ (10^{\log(0,8)\cdot t} )=\frac{1}{2}\\ \\ \log(0,8)\cdot t=\log(\frac{1}{2})\\ \\ \log(0,8)\cdot t=-\log(2)\\ \\ t = -\frac{\log(2)}{\log(0,8)}\\ \\ \boxed{t \approx 3,1 \text{ h} = 3 \text{ h }6 \text{ min}}\end{gathered}
0,8
t
⋅V
0
V(t)
=
2
1
⋅V
0
0,8
t
=
2
1
(10
log(0,8)
)
t
=
2
1
(10
log(0,8)⋅t
)=
2
1
log(0,8)⋅t=log(
2
1
)
log(0,8)⋅t=−log(2)
t=−
log(0,8)
log(2)
t≈3,1 h=3 h 6 min
Explicação passo a passo: