Question

preciso urgente de uma forma bem explicado de qual é a importâncias das funções de Leonard Euler 

Answer 1

Euler legou à posteridade um número assombroso de trabalhos sobre as mais diversas áreas, da Engenharia à Mecânica, da Óptica à Astronomia, da Música à Matemática (curvas, séries, cálculo de variações, cálculo infinitesimal, Geometria, Álgebra).
 A sua pesquisa Matemática chegava a ser, em média, de 800 páginas por ano, durante toda a sua vida.No tempo em que esteve em Berlim, Euler ganhou o hábito de escrever artigos e colocá-los numa pilha. Jamais algum matemático terá superado a produção deste homem. Como tal, iremos referir somente algumas das contribuições de Leonard Euler para a ciência.Uma das suas maiores contribuições foi ao nível das notações:“(...) numa exposição manuscrita dos seus resultados, escrita provavelmente em 1727 ou 1728, Euler usou a letra e mais de uma dúzia de vezes para representar a base do sistema de logaritmos naturais.”(Boyer, 1974, p.326). Apesar da base e ser já conhecida há um século, desde a invenção dos logaritmos, não havia sido padronizada uma notação. E é numa carta que Euler mencionou o e como “(...) aquele número cujo logaritmo hiperbólico [é]  igual a 1.” (Smith citado em Boyer, 1974, p. 326). 
Quando publicou o seu livro Mecanica, onde a dinâmica de Newton (1642-1727) foi apresentada de forma analítica,  foi impresso pela primeira vez o número e. A partir deste momento, a notação do número foi facilmente aceite e adotada nos cálculos matemáticos, bem como a padronização da denominação de “exponencial”. 
 A Euler também se atribui o uso definitivo da letra grega p como notação para a razão da circunferência e para o diâmetro do círculo. Não foi o primeiro matemático a utilizá-la, pois há registo de uma outra ocorrência em 1706, mas foi o primeiro a reconhecer a sua importância e utilidade. Digamos que, “foi a adopção do símbolo p por Euler em 1737, e mais tarde em seus muitos e populares livros de texto, que o tornou largamente conhecido e usado.” (Boyer, 1974, p. 326) 
A introdução do símbolo i para Ö (-1) foi mais uma notação adoptada em 1777, quase no fim da sua vida. Mas, só ficou conhecida em 1794 quando publicada numa obra posterior à sua morte. 
 Wallis (1614-1705)
Inicialmente, o fundamento da utilização baseava-se em representar um número infinito, tal como Wallis (1616-1705) usara o ¥. Desta maneira, Euler apresentava 

                    ex  = lim (1 + x/i) i  

onde, actualmente se escreve  

                    ex  = lim (1 + x/n)n. 

Após a  “apresentação” dos símbolos, cuja introdução e adopção se devem a Euler,  foi possível combinar os números e, p  e i   com o 0 e o 1 na mais célebre igualdade que contém os cinco números:  

                    e pi + 1 = 0

Esta, revela uma importante relação entre os mesmos. 
A Euler também é associada a introdução das seguintes notações: 

- A sexta constante mais importante da Matemática, a Constante de Euler, g;

- O logaritmo de x, ln x;

- O uso da letra å para a adição;

- f(x) para uma função de x. 
Segundo Boyer (1974), as nossas notações são hoje assim mais por causa de Euler do que qualquer outro matemático. Fica no ar se a afirmação se deveu à persuasão de Euler ou se foi devido à facilidade com que encarou e anotou conteúdos matemáticos. 
Na área da Geometria, numa primeira abordagem, o seu reconhecimento deve-se ao uso das letras minúsculas a, b, c para os lados de um triângulo e das maiúsculas correspondentes A, B, C para os ângulos opostos, bem como a aplicação das letras r, R e s para o raio dos círculos inscrito e circunscrito e o semiperímetro do triângulo, respectivamente. Há a destacar, também,  a “(...) bela fórmula (...)” (Boyer, 1974, p. 326):                    

4rRs = abc  

que relaciona os seis comprimentos, referidos anteriormente, embora hajam resultados semelhantes na Geometria da Antiguidade. No campo da Geometria Sintética o seu contributo não foi muito, apesar de atualmente se considerar a recta que contém o circuncentro, o ortocentro e o baricentro de um triângulo, como a reta de Euler. Em Geometria Analítica fez-se notar, a partir de 1728, por usar coordenadas no espaço, por dar equações gerais para três grandes classes de superfícies – cilindros, cones e superfícies de revolução - e por definir o arco  mais curto (geodésica) entre dois pontos de uma superfície cónica.