Question

Preciso muito de ajuda em cálculo por favor, é pra minha prova!!! determinar a área da região R entre as curvas y=7-2X² e y=X²+4​

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$\sf y = 7 - 2x {}^{2} \: \: \: \: e \: \: \: \: y = x {}^{2} + 4$

A primeira coisa que deve ser feita é encontrar os limites de integração, para isso basta encontrar a intersecção das funções, ou seja, igualá-las:

$\sf 7 - 2x {}^{2} = x {}^{2} + 4\Longrightarrow 2x {}^{2} + x {}^{2} +4 - 7 = 0 \\ \\ \sf 3x {}^{2} - 3 = 0 \Longrightarrow \begin{cases} \sf x_1 = 1\\ \sf x_1 = - 1 \end{cases}$

Esses são os limites de integração. Agora vamos encontrar a equação que representa a área formada, para isso basta subtrair a função que está acima pela função que está abaixo. Certamente a função que possui a intersecção em "y" no ponto P(0,7) é a que se encontra acima, então temos que:

$\sf \int\limits_{ - 1 }^{ 1 }( 7 - 2x {}^{2} - (x {}^{2} + 4))dx \Longrightarrow \int\limits_{ -1 }^{ 1}( - 3x {}^{2} + 3)dx$

Integrando a função sem os limites:

$\sf \int( - 3x {}^{2} + 3)dx = \int - 3x {}^{2} dx + \int 3dx \\ \\ \sf - \frac{3.x {}^{2 + 1} }{2 + 1} + \frac{3x {}^{0 + 1} }{1 + 1} \Longrightarrow \boxed{ \boxed{\sf- x {}^{3} + 3x }}$

Realocando os limites de Integração:

$\sf - x {}^{3} + 3x \bigg |_{ - 1}^{ 1 }$

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

$\sf - (1) {}^{3} + 3.1 - ( - ( - 1) {}^{3} + 3.( - 1)) \\ \\ \sf - 1 + 3 - 1 + 3 = 6 - 2 = \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf 4 \: u.a}}}}$

Espero ter ajudado