Question

preciso escrever a equação da reta tangente a parábola y=x^2 - x no ponto P(2,2)

Answer 1

O coeficiente da reta tangente a uma função no ponto (x,y) é dado por:

$a=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}~\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Como f(x) = x² - x e queremos achar o 'a' para x = 2:

$a=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}~\dfrac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}~\dfrac{[(2+\Delta x)^{2}-(2+\Delta x)]-[2^{2}-2]}{\Delta x}\\\\\\a=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}~\dfrac{[4+4\Delta x+\Delta x^{2}-2-\Delta x]-[4 - 2]}{\Delta x}\\\\\\a=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}~\dfrac{[2+3\Delta x+\Delta x^{2}]-2}{\Delta x}\\\\\\a=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}~\dfrac{\Delta x^{2}+3\Delta x}{\Delta x}$

Colocando Δx em evidência:

$a=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}~\dfrac{\Delta x(\Delta x+3)}{\Delta x}\\\\\\a=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}~\Delta x+3\\\\\\a=0+3\\\\\\\boxed{\boxed{a=3}}$
_____________________________

Sabe-se que a equação geral de uma reta é dada por:

$y=ax+b$

Como a = 3:

$y=3x+b$

Podemos achar 'b' substituindo x e y pelos valores de x e de y do ponto (2,2):
x = 2
y = 2

Logo:

$y=3x+b\\2=3\cdot2+b\\2=6+b\\2-6=b\\\\\boxed{\boxed{b=-4}}$

Equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P(2,2):

$\boxed{\boxed{y=3x-4}}$