Question

Preciso do resultado da função f(x) = √x^4-x+1/x^4+x+1
O "/" que está dentro da raiz significa que aquilo é uma fração (tudo está dentro da raiz)
Nesse caso preciso do resultado pela regra da cadeia, se puder fazer todo o passo a passo agradeço :)

Answer 1

Olá!
 
    Como você citou a Regra da Cadeia, creio que esteja interessado em obter a função derivada de   $f(x).$   Enuncie melhor o que deseja resolver ou entender, daí obterá respostas com mais precisão.
 
    Vamos lá!


    $f(x)=\sqrt{\dfrac{x^4-x+1}{x^4+x+1}}.$


    Lembre que, para derivar composição de funções, utilizando-se da Regra da Cadeia, devemos derivar a "função de fora" aplicada na "de dentro" e multiplicar isso tudo pela derivada da "função de dentro". Em outras palavras, se   $f\;\;\text{e}\;\;g$   são funções reais cujo domínio da   $g$   está contido na imagem da   $f$  , então temos que

$[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x).$


    No caso deste exercício, nossa função   $f$   é a função raiz quadrada, enquanto que nossa função   $g$   é a função racional que está dentro da raiz. Encontremos, primeiro, a derivada da função   $g$   usando a regra de derivação de quocientes:


$g(x)=\dfrac{x^4-x+1}{x^4+x+1}\Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow g'(x) = \dfrac{(4x^3-1)(x^4+x+1)-(x^4-x+1)(4x^3+1)}{(x^4+x+1)^2} = \\ \\ \\ = \dfrac{4x^7+3x^4+4x^3-x-1-(4x^7-3x^4-x+ 4x^3+1)}{(x^4+x+1)^2}=\\ \\ \\ = \dfrac{6x^4-2}{(x^4+x+1)^2}=\dfrac{2(3x^4-1)}{(x^4+x+1)^2}.$


    Lembrando que   $(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}},$   e usando a Regra da Cadeia, temos:


$[f(g(x))]' =f'(g(x))\cdot g'(x)= \dfrac{1}{2\sqrt{\frac{x^4-x+1}{x^4+x+1}}}\cdot \dfrac{2(3x^4-1)}{(x^4+x+1)^2}=\\ \\ \\ \\ = \dfrac{3x^4-1}{(x^4+x+1)^2\;\cdot \;\sqrt{\frac{x^4-x+1}{x^4+x+1}}}.$





Bons estudos!