Question

Preciso do passo a passo limite:
$\lim_{x \to \ 0} \frac{ \sqrt{25+3x}-5 }{x}$

Answer 1

Caso você ainda não tenha visto derivadas (regra de L'hospital) deves fazer assim:
Primeiro multiplica pelo conjugado:
$\frac{ \sqrt{25+3x}-5 }{x} . \frac{{ \sqrt{25+3x}+5 }}{{ \sqrt{25+3x}+5 }}$

Realizando essa multiplicação você ficará com:
$\frac{25 + 3x - 25}{x( \sqrt{25+3x} +5) }$

Simplificado os 25 -25 e cortando o x de cima com o x de baixo, você fica com:
$\frac{3}{ \sqrt{25 + 3x} +5}$
Como agora não temos mais a indeterminação do tipo 0/0, você pode substituir o valor da tendencia no lugar de x.

Ficando com:
$\frac{3}{ \sqrt{25+ 3.0} +5} = \frac{3}{5+5} = \frac{3}{10} = 0,3$

Espero ter ajudado.

Answer 2

Aplicando o limite na equação, teremos:

$f_{(0)}=\dfrac{\sqrt{25+3(0)}-5}{0}\\\\ f_{(0)}=\dfrac{\sqrt{25}-5}{0}\\\\ f_{(0)}=\dfrac{5-5}{0}\\\\ f_{(0)}=\dfrac{0}{0}\ (indetermina\c{c}\~ao)$

Podemos utilizar a Regra de L'Hopital, para tentar descobrir se o limite existe.
(É aplicar a derivada na parte de cima e na de baixo da equação, utilizando a regra da cadeia)

$Considerando:\\\\ u=25+3x\\\\ v=\dfrac{u^{\frac{1}{2}}}{x}\\\\ Derivada:\\\\ u'=3\\\\ v'=\frac{1}{2}\dfrac{u^{\frac{1}{2}-1}}{x^{1-1}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{u^{-\frac{1}{2}}}{1}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\\\\ Ficaremos\ assim,\ ent\~ao:\\\\ f'_{(x)}=u' \times v'\\\\ f'_{(x)}=3 \times \dfrac{1}{2\sqrt{25+3x}}\\\\ f'_{(x)}=\dfrac{3}{2\sqrt{25+3x}}$


Aplicando o limite novamente:

$\lim_{x \to 0}\dfrac{3}{2\sqrt{25+3x}}\\\\ f'_{(0)}=\dfrac{3}{2\sqrt{25+3x}}\\\\ f'_{(0)}=\dfrac{3}{2\sqrt{25+3(0)}}\\\\ f'_{(0)}=\dfrac{3}{2\sqrt{25}}\\\\ f'_{(0)}=\dfrac{3}{2\times5}\\\\ \boxed{\boxed{f'_{(0)}=\dfrac{3}{10}=0,3}}$

Bons estudos!