Question

{ PRECISO DO DOMIÍNIO} => 20 PONTOS!!!!
a) f(x)= log (9-x²)
b) y= 2+log base x (6-x)
c) y= log base (x+) (x² - 6x)

Answer 1

Para encontrar o domínio de uma função que envolve logaritmos, temos que nos atentar a dois pontos:

$\bullet\;\;$ a base do logaritmo deve ser positiva e diferente de $\mathbf{1};$

$\bullet\;\;$ o logaritmando deve ser positivo.


a) $f(x)=\mathrm{\ell og\,}(9-x^{2})$

$\bullet\;\;$ A base do logaritmo é $10.$

$\bullet\;\;$ O logaritmando é $9-x^{2}.$


Então, devermos ter

$9-x^{2}>0\\ \\ x^{2}<9$


Retirando a raiz quadrada dos dois lados da desigualdade, o sentido da desigualdade se mantém. Assim, chegamos a

$\sqrt{x^{2}}<\sqrt{9}$


Para qualquer número real $x$, temos que

$\sqrt{x^{2}}=|x|$


Substituindo na desigualdade, devemos ter

$|x|<\sqrt{9}\\ \\ |x|<3\\ \\ -3<x<3$


O domínio da função é

$D(f)=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,-3<x<3\right. \right \}$


ou utilizando a notação de intervalos

$D(f)=\left(-3;\,3 \right )$


b) $y=2+\mathrm{\ell og}_{x\,}(6-x)$

$\bullet\;\;$ A base do logaritmo é $x$. Devemos ter,

$x>0$ e $x \neq 1$

Podemos reorganizar as igualdades acima, chegando a

$0<x<1\;\;\text{ ou }\;\;x>1$


$\bullet\;\;$ O logaritmando é $6-x$

Devemos ter

$6-x>0\\ \\ x<6$


Combinado as desigualdades encontradas para a base e para o logaritmando, (fazendo a interseção), chegamos a

$0<x<1\;\;\text{ ou }\;\;1<x<6$


O domínio da função é

$\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,0<x<1\;\text{ ou }\;1<x<6\right. \right \}$


ou utilizando a notação de intervalos, o domínio é

$(0;\,1)\cup (1;\,6)$


c) $y=\mathrm{\ell og}_{x\,}(x^{2}-6x)$

$\bullet\;\;$ A base é $x.$ Então, devemos ter

$0<x<1\;\;\text{ ou }\;\;x>1$


$\bullet\;\;$ O logaritmando é $x^{2}-6x.$ Logo, devemos ter

$x^{2}-6x>0\\ \\ x^{2}-6x+9>9\\ \\ (x-3)^{2}>9$


Tirando a raiz quadrada dos dois lados da desigualdade, temos

$\sqrt{(x-3)^{2}}>\sqrt{9}\\ \\ |x-3|>3\\ \\ x-3<-3\;\;\text{ ou }\;\;x-3>3\\ \\ x<-3+3\;\;\text{ ou }\;\;x>3+3\\ \\ x<0\;\;\text{ ou }\;\;x>6$


Combinando os resultados encontrados para a base e para o logaritmando, devemos ter

$x>6$


Logo, o domínio da função é o conjunto

$\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,x>6\right. \right \}$


ou utilizando a notação de intervalos, o domínio é

$(6;\,+\infty)$