Question

Preciso disso comentado por favor. Se der pra explicar os pormenores seria perfeito.

Answer 1

A seguinte sequência é uma progressão aritmética:

$\left(\dfrac{10}{x},\;x-3,\;x+3,\;\ldots \right )$

com $x \neq 0.$


$\bullet\;\;$ Em uma P.A., as diferenças entre dois termos consecutivos é constante. Então, devemos ter

$a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{1}\\ \\ (x+3)-(x-3)=(x-3)-\dfrac{10}{x}\\ \\ \\ \diagup\!\!\!\! x+3-\diagup\!\!\!\! x+3=(x-3)-\dfrac{10}{x}\\ \\ \\ 6=(x-3)-\dfrac{10}{x}$


Como $x \neq 0,$ podemos multiplicar os dois lados da equação acima por $x:$

$6x=x\,(x-3)-10\\ \\ 6x=x^{2}-3x-10\\ \\ x^{2}-3x-6x-10=0\\ \\ x^{2}-9x-10=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{\begin{array}{l} a=1\\b=-9\\c=-10 \end{array}\right.$

$\Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-9)^{2}-4\cdot 1\cdot (-10)\\ \\ \Delta=81+40\\ \\ \Delta=121\\ \\ \\ x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ x=\dfrac{-(-9)\pm \sqrt{121}}{2\cdot 1}\\ \\ \\ x=\dfrac{9\pm 11}{2}\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{9-11}{2}&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{9+11}{2}\\ \\ x=\dfrac{-2}{2}&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{20}{2}\\ \\ \end{array}\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=-1&\;\text{ ou }\;&x=10 \end{array}}$


Como temos duas possibilidades para o valor de $x,$ temos duas soluções:


$\bullet\;\;$ Solução 1. Para $x=-1:$

Substituindo o valor de $x$ na progressão aritmética dada, obtemos

$\left(\dfrac{10}{-1},\;-1-3,\;-1+3,\;\ldots\right)\\ \\ \\ \left(-10,\;-4,\;2,\;\ldots\right)$


que é uma P.A. de razão $r=6.$ Então, o décimo termo será dado pela fórmula do termo geral da P.A.

$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Como queremos o décimo, fazemos $n=10$ e substituimos os valores conhecidos na fórmula acima:

$a_{10}=a_{1}+(10-1)\cdot r\\ \\ a_{10}=a_{1}+(10-1)\cdot 6\\ \\ a_{10}=-10+9\cdot 6\\ \\ a_{10}=-10+54\\ \\ \boxed{a_{10}=44}$


$\bullet\;\;$ Solução 2. Para $x=10:$

De forma análoga à solução $1,$ substituindo o valor de $x$ na P.A., obtemos

$\left(\dfrac{10}{10},\;10-3,\;10+3,\;\ldots\right)\\ \\ \\ \left(1,\;7,\;6,\;\ldots\right)$

que também é uma P.A. de razão $r=6.$ Mas agora, o décimo termo será

$a_{10}=a_{1}+(10-1)\cdot 6\\ \\ a_{10}=1+9\cdot 6\\ \\ a_{10}=1+54\\ \\ \boxed{a_{10}=55}$