Question

Preciso de uma reposta urgente !!!

Answer 1

1. A raiz quadrada de um número natural é um outro número natural ou então é um número irracional.

.Verdade. Os números naturais que possuem raiz quadrada exata, a raiz é natural. Exemplo: √4 =2 ou √9 =3

Os números naturais que não possuem raiz quadrada exata, a raiz é irracional.

Exemplo: √3 = 1,7320...

2. Prove que a soma e o produto de um número racional não nulo por um irracional são irracionais. De exemplo de dois números irracionais positivos cuja soma e cujo produto são números naturais.

Prova: Soma:

Supondo que um número racional a/b soma x, dando como resposta um número racional c/d (sendo a, b, c e d inteiros)

(a/b)+x = c/d

Passando o a/b para o outro lado:

x = (c/d)-(a/b)      Multiplicando a primeira fração por b/b e a segunda por d/d para elas ficarem com o mesmo denominador:

x = bc/bd-ad/bd

x = (bc-ad)/bd

Como a, b, c e d são inteiros,  (bc-ad)/bd é, obrigatoriamente, um número racional.

Assim, x é, obrigatoriamente, racional, para satisfazer a equação(a/b)+x = c/d. Ou seja: se a gente somar um número racional com um valor x, para obter outro racional, x não pode ser irracional. Ou seja, se x for irracional, a soma é irracional.

Prova: Produto:

Supondo que um número racional a/b multiplica x, dando como resposta um número racional c/d (sendo a, b, c e d inteiros)

(a/b)·x = c/d

Passando o a/b para o outro lado, ele fica dividindo:

x = (c/d)/(a/b)      Para dividir frações, a gente inverte a segunda e multiplica elas:

x = (c/d)·(a/b)

x = (c·a)/(b·d)

Como a, b, c e d são inteiros,  (c·a)/(b·d) é, obrigatoriamente, um número racional.

Assim, x é, obrigatoriamente, racional, para satisfazer a equação (a/b)·x = c/d. Ou seja: se a gente multiplicar um número racional por um valor x, para obter outro racional, x não pode ser irracional. Ou seja, se x for irracional, o produto é irracional.

Exemplos:

Número Irracional 1: (2+√2) = 3,4142,,,

Número Irracional 2: (2-√2) = 0,5857...

Soma:  2+√2+(2-√2) = 4 (um natural)

Produto: (2+√2)·(2-√2) = 2²-√2² = 4-2 = 2 (um natural)