Preciso de uma explicação sobre a fórmula que permite calcular a soma do N termos de uma P.G
Sn: a1 (1-q^n)/1-q
Como ela funciona e tals.
Soluções para a tarefa
Dada uma PG de razão q e primeiro termo igual a a1, temos que a soma destes termos será:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + aₙ₋₁ + aₙ
Se multiplicarmos todos os termos por q, teremos a seguinte expressão:
q.Sn = a1.q + a2.q + ... + aₙ₋₁.q + aₙ.q (I)
Mas, sabe-se que a2 = a1.q, a3 = a2.q, ..., an = aₙ₋₁.q, logo, temos:
Sn = a1 + a1.q + a2.q + ... + aₙ₋₁.q (II)
Se subtrairmos II de I, teremos:
q.Sn - Sn = a1.q + a2.q + ... + aₙ₋₁.q + aₙ.q - (a1 + a1.q + a2.q + ... + aₙ₋₁.q)
q.Sn - Sn = -a1 + (a1.q - a1.q) + (a2.q - a2.q) + ... + (aₙ₋₁.q - aₙ₋₁.q) + an.q
q.Sn - Sn = -a1 + an.q
Colocando Sn em evidência, temos:
Sn(q-1) = -a1 + an.q
Sabemos que an = a1.qⁿ⁻¹, logo:
Sn(q-1) = -a1 + a1.qⁿ⁻¹.q
Sn(q-1) = -a1 + a1.qⁿ
Colocando a1 em evidência:
Sn(q-1) = a1.(qⁿ-1)
Sn = a1.(qⁿ-1)/(q-1)