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o valor correspondente ao a31 da Progressão Aritmética 5, 3, 1, -1, -3, ... :
Escolha uma:
a. -48
b. -55
c. +45
d. -37
Soluções para a tarefa
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (5, 3, 1, -1, -3,...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:5
b)trigésimo primeiro termo (a₃₁): ?
c)número de termos (n): 31 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 31ª), equivalente ao número de termos.)
d)Embora não se saiba o valor do trigésimo primeiro termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será negativa (afinal, os valores dos termos sempre decrescem, afastam-se do zero, particularmente à sua esquerda, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será menor que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 3 - 5 ⇒
r = -2 (Razão negativa, conforme prenunciado no item d acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o trigésimo primeiro termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₃₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₃₁ = 5 + (31 - 1) . (-2) ⇒
a₃₁ = 5 + (30) . (-2) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₃₁ = 5 - 60 ⇒
a₃₁ = -55
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam sempre em sinal de negativo (-).
Resposta: O trigésimo primeiro termo da P.A.(5, 3, 1, -1,...) é -55. (ALTERNATIVA B.)
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₃₁ = -55 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o trigésimo primeiro termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₃₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
-55 = a₁ + (31 - 1) . (-2) ⇒
-55 = a₁ + (30) . (-2) ⇒
-55 = a₁ - 60 ⇒ (Passa-se -60 ao 1º membro e altera-se o sinal.)
-55 + 60 = a₁ ⇒
5 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 5 (Provado que a₃₁ = -55.)
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resolução!
r = a2 - a1
r = 3 - 5
r = - 2
a31 = a1 + 30r
a31 = 5 + 30 * (-2)
a31 = 5 + (-60)