Question

Preciso de Ajuda!! Urgente...!!!
Como faz essa equação irracional? [IMG]

Answer 1

Boa tarde Lalau!



Solução!

Para resolver uma equação irracional,basta elevar todos os membro ao quadrado,pois como se vê que nessas condições não é possível resolve-la.No caso desse exercicio vamos escreve-la com a diferença de um quadrado.

$a x^{2} -2a.b +b^{2}$


$( \sqrt{2 x^{2} +1})^{2}-2[( \sqrt{(2 x^{2} +1).( x^{2} -3)}] +( \sqrt{ x^{2} -3} )^{2}=(2)^{2}$

$2 x^{2} +1-2.\sqrt{(2 x^{4} -6 x^{2} + x^{2} -3) } + x^{2} -3=4$

$3 x^{2} -2.\sqrt{(2 x^{4} -6 x^{2} + x^{2} -3) } + x^{2} =4+2$

$3 x^{2} -2.\sqrt{(2 x^{4} -6 x^{2} + x^{2} -3) } + x^{2} =6$

$-2.\sqrt{(2 x^{4} -6 x^{2} + x^{2} -3) } =-3 x^{2}+6$

$\sqrt{(2 x^{4} -6 x^{2} + x^{2} -3) } = \dfrac{-3 x^{2}+6}{-2}$

$( \sqrt{(2 x^{4} -5 x^{2} -3) }= \left (\dfrac{3 x^{2}-6}{2} \right )$

Vamos elevar todos os membros ao quadrado.

$\left( \sqrt{(2 x^{4} -5x^{2} -3) } \right )^{2} = \left (\dfrac{3 x^{2}-6}{2} \right )^{2}$

$\left( \sqrt{(2 x^{4} -5x^{2} -3) } \right )^{2} = \left (\dfrac{3 x^{2}}{2}-3 \right )^{2}$

$\left(2 x^{4} -5x^{2} -3) } \right= \left (\dfrac{9 x^{4}}{4}- \dfrac{9 x^{2} }{2}- \dfrac{9 x^{2} }{2}+9 \right )$

$\left (2 x^{4} -5x^{2} -3) } \right= \left (\dfrac{9 x^{4}}{4}- 9 x^{2} +9 \right )$

Vamos fazer o MMC (4)=4

$8x^{4} -20 x^{2} -12=9 x^{4} -36 x^{2} +36$

Juntando os termos semelhantes.

$8x^{4}-9x^{4}-20 x^{2} +36 x^{2} -12-36=0$

$- x^{4} +16 x^{2} -48=0$


Multiplicando por -1

$x^{4} -16 x^{2} +48=0$

Veja, encontramos uma raiz biquadrática.

Vamos usar a formula de Baskara para resolve-la.Mas antes precisamos de uma artificio para transformar a equação biquadratica em uma equação quadrada.




$Formula\Rightarrow y= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4.a.c } }{2.a}$


$x^{2} =y$


$y^{2}-16y+48=0$


Coeficientes da equação.

$a=1 \\\\ b=-16 \\\\\ c=48$

Vamos substitui los na formula.

$y= \dfrac{-(-16)\pm \sqrt{(-16)^{2}-4.1.48 } }{2.1}$

$y= \dfrac{16\pm \sqrt{256-192 } }{2}$

$y= \dfrac{16\pm \sqrt{64 } }{2}$

$y= \dfrac{16\pm 8 }{2}$

$y_{1}= \dfrac{16+8}{2}= \dfrac{24}{2}= 12$

$y_{2}= \dfrac{16-8}{2}= \dfrac{8}{2}= 4$


Veja,encontramos os valores de y,mas o que nos interessa são os valores de x.

$x^{2} =y$


Para

$y_{1}= \dfrac{16+8}{2}= \dfrac{24}{2}= 12$

$x^{2} =\pm12$

$x= \pm\sqrt{12}$

$x=\pm2 \sqrt{3}$


Para

$y_{2}= \dfrac{16-8}{2}= \dfrac{8}{2}= 4$

$x^{2} =\pm4$

$x=\pm \sqrt{4}$

$x=\pm2$


Éssas são as soluções da equação irracional.


$S=\{\pm2 \sqrt{3},\pm2\}$


Boa noite!
Bons estudos!