Question

Preciso de ajuda URGENTE!!!!!

Answer 1

Note que o triângulo pode ser dividido em outros 2 e um retângulo, assim como na figura.

Deste modo, usando o ângulo teta, podemos achar uma relação entre x e y, pois:

                                                        $\boxed{tg_\theta=\frac{CO}{CA} }$

Em um triângulo temos:

• CO = 3
• CA = Y

Já no outro:

• CO = X
• CA = 2

Com essas informações e sabendo que os ângulos tetas dos dois triângulos são iguais (os triângulos compartilham lados e ângulos iguais), podemos afirmar que:

                                              $\boxed{tg_\theta=\frac{3}{y} = tg\theta =\frac{x}{2} }$

Desta forma:

                                                        $\boxed{y=\frac{6}{x} }$

Agora que temos todas as incógnitas em função de x, podemos usar o teorema de pitágoras para relacionar a hipotenusa ($l$), deste modo:

                                         $l^{2} =(x+3)^{2} +(2+\frac{6}{x} )^{2}$

Com essa relação, podemos perceber que enquanto o valor de x oscilar, a hipotenusa e o ângulo teta mudarão de valor. Ou seja, derivar essa distância, vai nos dar a taxa de mudança de x e y e, consequentemente teta.

Assim, para descobrimos o comprimento máximo do cano, podemos encontrar o ponto mínimo da derivada, ou seja, o valor de x mínimo que vai possibilitar que o maior cano possível passe. Desta forma:

$l^{2} =(x+3)^{2} +(2+\frac{6}{x} )^{2}\\\\l^{2} =(x+3)^{2} +4\frac{(x+3)^{2} }{x^{2} } \\\\l^{2} =\frac{x^{2} (3+x)^{2} +4(x+3)^{2} }{x^{2} } = \frac{(3+x)^{2}(x^{2} +4) }{x^{2} }$

$\boxed{ l^{2} =\frac{(3+x)^{2}(x^{2} +4) }{x^{2} }}$

Derivando, temos:

$ln (l^{2})=ln( \frac{(3+x)^{2}(x^{2} +4) }{x^{2} }) \\\\ln (l^{2})=2ln(3+x)+ln(x^{2} +4)-2ln(x)\\\\\\\frac{1}{l^{2} } *l'=(2\frac{1}{3+x}+\frac{1}{x^{2} +4}*( x^{2} +4)'-\frac{2}{x} \\\\\frac{1}{l^{2} } *l' = \frac{2x(x^{2} +4)+2x^{2}(3+x)-2(3+x)(x^{2} +4)}{x(3+x)(x^{2} +4)}$

$\boxed{\frac{1}{l^{2} } *l'= \frac{2x^{3}-24 }{x(3+x)(x^{2} +4)} }$

Aqui, devemos nos lembrar que l² é:

$\boxed{ l^{2} =\frac{(3+x)^{2}(x^{2} +4) }{x^{2} }}$

Substituindo temos:

$l'= \frac{2x^{3}-24 }{x(3+x)(x^{2} +4)} *\frac{(3+x)^{2}(x^{2} +4) }{x^{2} }\\\\\boxed{l'=\frac{2(3+x)(x^{3} -12)}{x^{3} } }$

Para encontrarmos o ponto crítico devemos igualar a derivada a 0.

                                      $l'=\frac{2(3+x)(x^{3} -12)}{x^{3} } = 0$

Porém, podemos perceber que para equação se igual a 0, somente o numerador pode valer 0. Logo:

                                     $(6+2x)(x^{3} -12)=0$

As raízes são:

$6+2x=0\\2x=-6\\x=-3$  

e

$x^{3}-12 = 0\\x^{3}=12\\x=\sqrt[3]{12}$

Como x é um distância, o único valor válido é $\sqrt[3]{12}$, deste modo, a única coisa que nos falta checar é se esse valor é máximo ou mínimo, lembrando que queremos um mínimo.

Vamos pensar nos sinais da derivada

Quando -3<x<0:

$\frac{(+)(-)}{(-)}=+$

Quando 0<x<$\sqrt[3]{12}$:

$\frac{(-)(-)}{(-)}=-$

Concluímos assim que $\sqrt[3]{12}$ é um ponto mínimo da função, pois marca a transição de - para +.

Assim, basta substituirmos esse valor na equação l²:

$l^{2} =\frac{(3+x)^{2}(x^{2} +4) }{x^{2} }\\l=\sqrt{\frac{(3+\sqrt[3]{12})^{2}(\sqrt[3]{12}^{2} +4) }{\sqrt[3]{12}^{2} } } \approx 7.023$

Ou seja, o maior cano possível tem 7.023 metros de comprimento.