Question

Preciso de ajuda:Seja C a circunferencia que passa pelos pontos P(0,2), Q(2,0)e T(1,-1).O RAIO DESSA CIRCUBFERENCIA é?

Answer 1

O centro $C(x_{_C}},\,y_{_C}})$ desta circunferência será a intersecção das retas mediatrizes dos segmentos $PQ$ e $QT.$

__________

$\bullet\;\;$ Encontrando a equação da reta $r$ mediatriz do segmento $PQ:$

coeficiente angular do segmento $PQ:$ $m$

$M(x_{_M}},\,y_{_{M}})$ é o ponto médio do segmento $PQ.$


A equação da reta mediatriz é

$r:~y-y_{_M}=-\,\dfrac{1}{m}\,(x-x_{_M})\\\\\\ r:~y-\dfrac{y_{_P}+y_{_Q}}{2}=\dfrac{x_{_P}-x_{_Q}}{y_{_Q}-y_{_P}}\cdot \left(x-\dfrac{x_{_P}+x_{_Q}}{2}\right)\\\\\\ r:~y-\dfrac{2+0}{2}=\dfrac{0-2}{0-2}\cdot \left(x-\dfrac{0+2}{2}\right)\\\\\\ r:~y-1=1\cdot (x-1)\\\\ r:~y-1=x-1\\\\ \boxed{\begin{array}{c}r:~y=x \end{array}}~~~~~~\mathbf{(i)}$

( reta mediatriz do segmento $PQ$ )

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$\bullet\;\;$ Encontrando a equação da reta $s$ mediatriz do segmento $QT:$

coeficiente angular do segmento $QT:$ $m$

$M(x_{_M}},\,y_{_{M}})$ é o ponto médio do segmento $QT.$


A equação da reta mediatriz é

$s:~y-y_{_M}=-\,\dfrac{1}{m}\,(x-x_{_M})\\\\\\ s:~y-\dfrac{y_{_Q}+y_{_T}}{2}=\dfrac{x_{_Q}-x_{_T}}{y_{_T}-y_{_Q}}\cdot \left(x-\dfrac{x_{_Q}+x_{_T}}{2}\right)\\\\\\ s:~y-\dfrac{0-1}{2}=\dfrac{2-1}{-1-0}\cdot \left(x-\dfrac{2+1}{2}\right)\\\\\\ s:~y-\dfrac{(-1)}{2}=\dfrac{1}{-1}\cdot \left(x-\dfrac{3}{2}\right)\\\\\\ s:~y+\dfrac{1}{2}=-1\cdot \left(x-\dfrac{3}{2}\right)\\\\\\ s:~y+\dfrac{1}{2}=-x+\dfrac{3}{2}\\\\\\ s:~y=-x+\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}s:~y=-x+1\end{array}}~~~~~~\mathbf{(ii)}$

( reta mediatriz do segmento $QT$ )

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Encontrando a interseção das retas mediatrizes:

Igualando os $y$ das equações $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)},$ obtemos

$x=-x+1\\\\ x+x=1\\\\ 2x=1\\\\ x=\dfrac{1}{2}$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ encontramos

$y=\dfrac{1}{2}$


E portanto, as coordenadas do centro $C$ são

$x_{_C}=\dfrac{1}{2}~\text{ e }~y_{_C}=\dfrac{1}{2}~~\Rightarrow~~C\!\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{2} \right )$

______________

O raio $\rho$ da circunferência é a distância do centro $C$ a qualquer um dos três pontos $P,$ $Q$ ou $T:$

$\rho=d_{_{CP}}\\\\ \rho=\sqrt{(x_{_C}-x_{_P})^2+(y_{_C}-y_{_P})^2}\\\\ \rho=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}-0\right)^{\!\!2}+\left(\dfrac{1}{2}-2\right)^{\!\!2}}\\\\\\ \rho=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\!\!2}+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{2}\right)^{\!\!2}}\\\\\\ \rho=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\!\!2}+\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{\!\!2}}\\\\\\ \rho=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}}\\\\\\ \rho=\sqrt{\dfrac{10}{4}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\rho=\dfrac{\sqrt{10}}{2} \end{array}}$


Bons estudos! :-)