Question

Preciso de ajuda.
Se possível com solução, Por Favor.

D

C

E

A

B

Answer 1

Boa tarde Rosana!

Solução!

Para resolver essa integral por frações parciais,vamos ter que achar o valor de duas variáveis A e B para encontramos a resposta da integral.

Seja a integral.

$A+B=0$

$\int\limits { \dfrac{dx}{ x^{2} -4} }$

Reescrevendo a integral.

$\int\limits { \dfrac{1}{ x^{2} -4} }dx$

Vamos fatorar o denominador da integral.

$\dfrac{1}{ x^{2} -4} }= \dfrac{1}{(x-2)(x+2)}$

$A(x-2)+B(x+2)=\dfrac{1}{(x-2)(x+2)}$

$A(x+2)+B(x-2)=1$

Vamos nesse momento multiplicar A e B ficando assim.

$Ax+2A+Bx-2B=1$

Vamos juntar os termos semelhantes e colocar em evidencia os mesmos quando possivel.

$(Ax+Bx)+(2A-2B)=1$

$x(A+B)+2(A-B)=1$

$A+B=0$

$A=-B$

Substituindo A em

$2(A-B)=1$

$2(-B-B)=1$

$2(-2B)=1$

$-4B=1$

$B=- \dfrac{1}{4}$

Vamos agora encontrar o valor de A também fazendo a substituição.

$A=-B$

$A=-\left (- \dfrac{1}{4} \right )$

$A= \dfrac{1}{4}$

Como já encontramos o valor de A e B vamos igualar a:

$\dfrac{1}{ x^{2} -4}= \dfrac{1}{4}(x-2)- \dfrac{1}{4}(x+2)$

Agora vamos integral

$\int\limits { \dfrac{dx}{ x^{2} -4} }= \int\limits\dfrac{1}{ x^{2} -4}dx= \int\dfrac{1}{4}(x-2)- \dfrac{1}{4}(x+2)$

$\int\dfrac{1}{4}(x-2)- \dfrac{1}{4}(x+2)$

Com as operações feita acima,chegamos a uma integral equivalente encontrada na tabela de integrais,que é essa.

$\int \frac{du}{u} =ln|u|+c$

Comparando fica assim

$\int\dfrac{1}{4}(x-2)- \dfrac{1}{4}(x+2)$

$\dfrac{1}{4}ln|x-2|- \dfrac{1}{4}ln|x+2|+c$

Logo

$\int\limits { \dfrac{dx}{ x^{2} -4} }=\dfrac{1}{4}ln|x-2|- \dfrac{1}{4}ln|x+2|+c$

Resposta: D

Boa tarde!
Bons estudos!